配方法

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簡介

配方法是一種代數技巧，用於將包含完全平方項的二次表示式寫成特定的形式。二次公式是確定二次方程根的最基本方法。某些二次方程不容易因式分解，在這些情況下，我們可以使用此二次公式儘快找到根。

二次方程的根也有助於確定二次方程的根的和與積。二次公式的兩個根表示為單個表示式。可以使用正負號交替獲得方程的兩個不同根。

求解二次方程的第一步是找到滿足方程的變數的值（或值）。二次方程所需的值稱為其根、解或零點。二次方程最多隻能有兩個根，因為它的次數為 2。

二次方程

二次方程的定義為一個二次多項式方程，要求必須包含至少一個平方項。$\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$

其中 a、b 和 c 是數值係數，x 是未知變數。這裡，'a' 不等於零，因為如果它等於零，方程將不再是二次方程，而將變成線性方程，例如 $\mathrm{bx\:+\:c\:=\:0}$

因此，我們不能將此方程稱為二次方程。

a、b 和 c 的另一個名稱是二次係數。滿足二次方程的未知變數 x 的值是問題的解。二次方程的根或零點被稱為這些解。給定方程的答案是任何多項式的根。

用配方法解二次方程

假設方程為 $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$。然後使用提供的步驟來完成配方法以回答問題。

步驟 1 - 將方程寫成所示的形式將確保 C 在右側。

步驟 2 - 如果 an 不等於 1，則將整個方程除以 an，使 𝑥² 的係數為 1。

步驟 3 - 現在在兩邊加上 $\mathrm{(\frac{b}{2a})^{2}}$，即 -x 係數的平方。

步驟 4 - 將方程左側的二項式項的平方進行因式分解。

步驟 5 - 求平方根。

$$\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:\frac{b}{a}x\:+\:\frac{c}{a}\:=\:0}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x^{2}\:+\:\frac{b}{a}x\:+\:(\frac{b}{2a})^{2}\:-\:(\frac{b}{2a})^{2}\:+\:\frac{c}{d}\:=\:0}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:[x\:+\:\frac{b}{2a}]^{2}\:-\:[\frac{b^{2}\:-\:4ac}{4a^{2}}]\:=\:0}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:[x\:+\:\frac{b}{2a}]^{2}\:=\:[\frac{b^{2}\:-\:4ac}{4a^{2}}]}$$

如果 $\mathrm{b^{2}\:-\:4ac}$ 大於或等於零，則

$$\mathrm{x\:+\:\frac{b}{2a}\:=\:\pm\:\sqrt{[\frac{b^{2}\:-\:4ac}{4a^{2}}]}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x\:+\:\frac{b}{2a}\:=\:\pm\:\frac{\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$$

二次公式

使用二次公式可以找到二次方程的根。此公式有助於評估二次方程的解，而不是因式分解方法。我們知道二次方程 $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx}$ 具有以下解（或根）公式 -

$$\mathrm{x\:+\:\frac{b}{2a}\:=\:\pm\:\frac{\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$$

二次方程無實根的條件

如果二次函式的判別式小於零，則該函式沒有實根，並且它所表示的拋物線不與 x 軸相交。

• 判別式，$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:<0}$

• 拋物線不與 x 軸相交。

例題

1) 求二次方程 $\mathrm{x^{2}\:+\:x\:+\:1\:=\:0}$ 的根

答案 - 我們知道二次公式為 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

現在將此公式應用於給定方程，

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-1\:\pm\:\sqrt{1^{2}\:-\:4.1.1}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-1\:\pm\:\sqrt{-3}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{-1\:\pm\:i\:\sqrt{3}}{2}}$$

2) 求 $\mathrm{x^{2}\:-\:2x\:+\:1\:=\:0}$ 的根

答案 - 我們知道二次公式為 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

現在將此公式應用於給定方程，

$$\mathrm{x\:=\:\frac{2\:\pm\:\sqrt{2^{2}\:-\:4.1.1}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{2}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:1}$$

3) 求二次方程 $\mathrm{x^{2}\:-\:4x\:+\:3\:=\:0}$ 的根

答案 - 我們知道二次公式為 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

現在將此公式應用於給定方程，

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:\sqrt{(-4)^{2}\:-\:4.1.3}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:\sqrt{16\:-\:12}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:2}{2}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x\:=\:3\:and\:x\:=\:1}$$

4) 求 $\mathrm{x^{2}\:-\:2x\:+\:3\:=\:0}$ 的判別式

答案 - 判別式，

$$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:=\:(-2)^{2}\:-\:4.1.3}$$

$$\mathrm{=\:4\:-\:12}$$

$$\mathrm{=\:-8}$$

5) 求 $\mathrm{}$ 的根

答案 - 判別式，

$$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:=\:(-5)^{2}\:-\:4.2.3}$$

$$\mathrm{=\:25\:-\:24}$$

$$\mathrm{=\:1}$$

6) 求給定方程 $\mathrm{5x^{2}\:-\:4x\:+\:3\:=\:0}$ 的根

答案 - 我們知道二次公式為 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

現在將此公式應用於給定方程，

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:\sqrt{(-4)^{2}\:-\:4.5.3}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:\sqrt{16\:-\:60}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{4\:\pm\:i\:\sqrt{44}}{2a}}$$

7) 求二次方程 $\mathrm{x^{2}\:-\:x\:+\:3\:=\:0}$ 的根的性質

答案 - 為了找到二次方程的根的性質，我們必須找到它的判別式，即

$$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:=\:(-1)^{2}\:-\:4.1.3}$$

$$\mathrm{=\:1\:-\:12}$$

$$\mathrm{=\:-11}$$

由於 $\mathrm{b^{2}\:-\:4ac}$ 小於零，因此它沒有實根。

8) 求二次方程 $\mathrm{8x^{2}\:-\:6x\:+\:1\:=\:0}$ 的根的性質

答案 - 為了找到二次方程的根的性質，我們必須找到它的判別式，即

$$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:=\:(-6)^{2}\:-\:4.8.1}$$

$$\mathrm{=\:36\:-\:32}$$

$$\mathrm{=\:4}$$

由於 $\mathrm{b^{2}\:-\:4ac}$ 大於零，因此它有兩個實根。

9) 求二次方程 $\mathrm{}$ 的根的性質

答案 - 為了找到二次方程的根的性質，我們必須找到它的判別式，即

$$\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:=\:(-2)^{2}\:-\:4.1.9}$$

$$\mathrm{=\:4\:-36}$$

$$\mathrm{=\:-32}$$

由於 $\mathrm{b^{2}\:-\:4ac}$ 小於零，因此它沒有實根。

10) 求二次方程 $\mathrm{}$ 的根

答案 - 我們知道二次公式為 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

現在將此公式應用於給定方程，

$$\mathrm{x\:=\:\frac{3\:\pm\:\sqrt{(-3)^{2}\:-\:4.1.5}}{2.1}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{3\:\pm\:\sqrt{9\:-\:20}}{2}}$$

$$\mathrm{x\:=\:\frac{3\:\pm\:i\:\sqrt{11}}{2}}$$

結論

二次方程的定義為一個二次多項式方程，要求必須包含至少一個平方項。二次方程的一般形式如下 - $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$

配方法是一種代數方法，用於將二次表示式寫成包含完全平方項的形式。簡單來說，配方法就是將形如 $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$ 的二次方程轉換為 $\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}$ 的形式。此方法常用於解二次方程。

求解二次方程的第一步是找到滿足方程的變數的值（或值）。二次方程所需的值稱為其根、解或零點。二次方程最多隻能有兩個根，因為它的次數為 2。

常見問題

1. 什麼是二次方程？

二次方程是關於 x（一個變數）的二階代數方程。一般形式 - $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0}$

2. 無實根的條件是什麼？

判別式 $\mathrm{b^{2}\:-\:4ac\:<0}$ 拋物線不與 x 軸相交

3. 什麼是二次公式？

$\mathrm{x\:=\:\frac{-b\:\pm\:\sqrt{b^{2}\:-\:4ac}}{2a}}$

4. 二次方程的一般方程是什麼？

二次方程的一般方程為 $\mathrm{ax^{2}\:+\:bx\:+\:c\:=\:0\:.\:a\neq\:0}$

5. 配方法的用途是什麼？

配方法透過將二次多項式或方程轉換為一個完全平方加上一個常數，來對其進行因式分解。