數制的算術運算

數制是用一組符號來表示從共同基數或基底匯出的值的集合。在一個數中，每個數字的值可以透過數字、數字在數中的位置和數制的基數來確定。基數定義為數制中可用數字的總數。這被稱為位置數制。

數制
基數
使用的數字
二進位制
2
0, 1
八進位制
8
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
十進位制
10
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
十六進位制
16
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F


加法、減法、乘法和除法等算術運算在各種基數中執行。這些算術運算還可以使用r的補碼和(r-1)的補碼錶示。

這些表示技術為各種算術運算持有基本定律

(i) 唯一存在定律：任意兩個數的和與積唯一存在。其中0是加法的單位元，1是乘法的單位元。

(ii) 結合律：二進位制數的加法和乘法滿足結合律。

(iii) 交換律：二進位制數的加法和乘法滿足交換律。

(iv) 分配律：二進位制數的乘法對加法中的兩個或多個項滿足分配律。

現在，各種數制的算術運算解釋如下。

二進位制數的算術運算

在二進位制系統中，只有兩個符號或可能的數字值，即0和1。由任何只有2個工作狀態或可能條件的裝置表示。通常用下標2或二進位制(B)表示。

二進位制算術是各種數字系統的基本組成部分。您可以使用各種方法對二進位制數進行加、減、乘和除運算。這些運算比十進位制數的算術運算容易得多，因為二進位制系統只有兩個數字：0和1。

二進位制加法和減法與十進位制加法和減法相同。當我們進行二進位制加法時，將有兩個輸出：和(S)和進位(C)。二進位制加法有四個規則，如下所示：


輸入 A
輸入 B
和 (S)
A+B
進位 (C)
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
1

二進位制減法有四個規則，如下所示：

輸入 A
輸入 B
差 (S)
A-B
借位 (B)
0
0
0
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0


需要從更高位的數字借位1來從0中減去1。所以結果變為0。

二進位制乘法有四個規則，如下所示：


輸入 A
輸入 B
積 (M)
AxB
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1


只要至少一個輸入為0，則乘積總是0。

除法有四個部分：被除數、除數、商和餘數。二進位制除法的規則如下：

輸入 A
輸入 B
商 (D)
A/B
0
0
未定義
0
1
0
1
0
未定義
1
1
1



當除數為0時，結果始終未定義。

八進位制數的算術運算

它有基數為8，數字範圍從0到7（即0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7）。通常用下標8或八進位制(o)表示。

八進位制數的算術運算也與十進位制算術運算相同。八進位制數的加法表如下所示




+
0
1
2
3
4
5
6
7
0
0
1
2
3
4
5
6
7
1
1
2
3
4
5
6
7
10
2
2
3
4
5
6
7
10
11
3
3
4
5
6
7
10
11
12
4
4
5
6
7
10
11
12
13
5
5
6
7
10
11
12
13
14
6
6
7
10
11
12
13
14
15
7
7
10
11
12
13
14
15
16


藉助上表，我們可以進行八進位制數的加法。

類似地，我們可以像十進位制數的減法一樣進行八進位制數的減法。但是你只能借用數字7，這是八進位制數系統中允許的最大數字。

在八進位制數的乘法中，如果乘積小於八進位制的基數（即8），則我們將其作為結果，否則將其除以八進位制的基數（即8），並將餘數作為LSB（最低有效位）。商作為下一個有效位中的進位。

類似地，八進位制數的除法可以透過遵循十進位制數的除法規則來執行，但允許的最大數字將是7。


十六進位制數的算術運算

它有基數為16，數字範圍從0到F（即0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9和A, B, C, D, E, F）。A、B、C、D、E、F分別相當於10、11、12、13、14、15的單個數字。通常用下標16或十六進位制(H)或(h)表示。

十六進位制數的算術運算可以使用十六進位制數的加法表進行，如下所示

+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
2
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
3
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
4
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
5
5
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
6
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
7
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
8
8
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
9
9
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
A
A
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
B
B
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
C
C
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
D
D
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
E
E
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1C
1D
1E


藉助上表，我們可以進行十六進位制數的加法。

十六進位制數的減法可以使用補碼方法或像十進位制減法一樣簡單地進行。簡單的十六進位制減法的規則是從較高的位借來的數字計為16。

在十六進位制數的乘法中，如果乘積小於十六進位制的基數（即16），則我們將其作為結果，否則將其除以十六進位制的基數（即16），並將餘數作為LSB（最低有效位）。商作為下一個有效位中的進位。使用這些規則，您可以為十六進位制乘法制作一個表。

類似地，十六進位制數的除法可以透過遵循十進位制數的除法規則來執行，但允許的最大數字將是F（在十進位制中等於15）。

十進位制數的算術運算

十進位制數的算術運算非常流行且容易得多。這些運算在其他數制中也以相同的方式執行。

更新於：2019年7月30日

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