方差和標準差在心理學中的應用

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變數的變異性是指其分數偏離集中趨勢值（例如樣本的眾數、均值和中位數）的趨勢。標準差和方差是直接根據變數的原始分數計算出來的，並且以與這些分數相同的單位表示。

變異性的度量

統計學中的變異性表示一組或一系列分數與其平均分數的差異。它指的是組內分數圍繞均值的離散程度。有時也稱為離散度。例如，在一組十名參與者中，每個人在數學考試中獲得的分數都與其他人不同。可以使用變異性度量來評估這些波動，該度量計算平均值或平均分數的不同值的離散程度。組內值的離散程度有時也稱為變異性或離散度。分佈中的高變異性表明分數分散且不均勻。在統計學中，變異性指的是一組或一系列分數與其平均分數的差異。它實際上指的是該組分數圍繞均值的分佈。它也稱為離散度。例如，在一組十名參與者中，每個人在數學考試中獲得的分數都與其他人不同。可以使用變異性度量來評估這些波動，該度量衡量平均值或平均分數的不同值的離散程度。變異性或離散度也指組內值的離散程度。分佈中的高變異性表明分數分散且不均勻。

方差

R.A. Fisher 在 1913 年使用“方差”一詞來表示標準差的平方。方差的概念在高階工作中至關重要，因為這時可以將總數分成許多部分，每一部分都歸因於導致其原始序列差異的原因之一。方差衡量一組資料點圍繞其平均值的離散程度。它是均值的平均平方偏差的數學期望值。方差 (s²) 或均方 (MS) 是各個分數與其平均值的平方偏差的算術平均值。換句話說，它是分數的平方偏差的平均值。

方差及其密切相關的標準差是衡量分佈分數離散程度的指標，換句話說，它們是變異性度量。方差計算為每個整數與均值的平方偏差的平均值。許多統計應用和分析都需要計算方差。它是一個很好的變異性絕對度量，可用於方差分析 (ANOVA) 以確定樣本平均值差異的顯著性。

方差的計算

對於未分組的分數，樣本方差通常計算如下：

$\mathrm{s^2={\frac{\sum(X-\bar{X})^2}{n-1}}}$

其中，$\mathrm{\sum(X-\overline{X})^2}$ = 分數與其樣本均值的平方差之和，也稱為平方和

n = 頻數的總數

或者，

$\mathrm{s^2={\frac{n\sum x^{2}-(\sum x)^2}{n(n-1)}}}$

其中，$\mathrm{\sum X^2}$ = 分數的平方和

n = 頻數的總數

對於分組為規則組距的頻數分佈，方差按以下公式計算為標準差的平方：

$\mathrm{s^2=\frac{\sum f(x_c-\overline{x})^2}{n-1}}$

其中，f = 組距的頻數

X_c = 組距的中點

引數方差或總體方差用符號 $\sigma^2$ 表示。

示例

計算以下家蠅翅長 (mm) 的方差和標準差：

3.5, 4.8, 4.3, 3.4, 5.1, 4.2, 3.8, 4.5, 3.6, 5.0, 3.4, 4.4, 5.3, 3.7, 4.0, 3.3

解答

在表 4.9 中輸入分數 (X) 後，對每個 X 分數進行平方，並將平方分數 (X²) 也輸入表中。對 X 和 X² 分數求和得到 $\mathrm{\sum X}$ 和 $\mathrm{\sum X^2}$，分別用於計算方差 (s²) 和無偏標準差。

序號	翅長 (X)	X2	序號	翅長 (X)	X2
1	3.5	12.25	累計	37.2	156.64
2	4.8	23.04	10	5.0	25.00
3	4.3	18.49	11	3.4	11.56
4	3.4	11.56	12	4.4	19.36
5	5.1	26.01	13	5.3	28.09
6	4.2	17.64	14	3.7	13.69
7	3.8	14.44	15	4.0	16.00
8	4.5	20.25	16	3.3	10.89
9	3.6	12.96	9	66.3	281.23
結轉	37.2	156.64	合計	($\mathrm{\sum X}$)	($\mathrm{\sum X^2}$)

$\mathrm{s^2=\frac{n \sum x^2 − (\sum x)^2}{n(n-1)}}$

$\frac{(16 \times 281.23 − 66.32)}{16(16 − 1)}$

$\mathrm{= 0.433mm^2}$

$\mathrm{s = \sqrt{s^2} = \sqrt{0.433} = 0.658 \: mm}$

方差分析 (ANOVA)

實驗旨在研究一個或多個自變數對一個或多個因變數的影響。ANOVA 用於確定樣本暴露於自變數是否顯著增加了因變數的方差，超過了可歸因於隨機原因的變異。主要目標是計算三個或多個分陣列的均值由於抽樣誤差而不同的可能性。

ANOVA 的型別

主要型別是：

標準差 (SD)

卡爾·皮爾遜於 1893 年提出標準差，用 s 或 $\sigma$ 表示，以衡量離散度。它被定義為偏離算術平均值的平方值的算術平均值的正平方根。卡爾·皮爾遜在 1894 年的著作中首次使用了“標準差”一詞。總體標準差用“(希臘字母 sigma)”表示，樣本標準差用“$\sigma$”表示。SD 很實用，因為它與資料一樣，以相同的單位表示。這是最常用的變異方法。標準差表示所有分數圍繞均值的平均值。它是所有分數與其均值的平方偏差的均值的正平方根。它是正方差的平方根。

標準差表示與均值的方差，而 SD 僅根據均值確定。低標準差表示資料接近均值，高標準差表示資料分佈在較寬的值範圍內。標準差可用於評估不確定性。如果您想檢驗理論或評估測量結果是否與理論預測一致，則標準差可以提供資訊。如果均值和標準差的差異特別大，則應更新正在檢驗的理論。

標準差最低的均值比標準差最高的均值更可靠，較低的 SD 表示資料更均勻。為資料收集中的每個觀測值計算標準差值。SD 用於後續的統計分析，因為它是在代數上處理的唯一離散度量。

標準差用於以下情況：

• 需要尋求最穩定的統計量，我們需要最可靠和最準確的變異性度量。

• 極端偏差應對方差產生成比例更大的影響，以及當分佈為正態分佈或接近正態分佈時。

計算

$\mathrm{s=\sqrt{\frac{\overline{\sum(X-\overline{X})^2}}{n}}={\sqrt{\frac{\sum X^2}{n}}}}$

其中，X = 各個分數

$\mathrm{\overline{X}}$ = 樣本均值

$\mathrm{(X − \overline{X})}$ 或 x = 分數與 $\mathrm{\overline{X}}$ 的偏差

優點

• 它有嚴格的定義，並基於分佈的所有觀測值。

• 與其他變異性度量相比，它是總體引數更穩定或更準確的估計值。

• 在所有離散度量中，SD 受抽樣波動影響最小。

• 可以確定兩個或多個組的組合 SD。

• 它在進一步的統計工作中得到廣泛應用。例如：計算偏度和峰度、相關性和迴歸，以及顯著性檢驗

• 標準差是抽樣中的基石，併為正態偏差提供了一個測量單位。

結論

方差或標準差等度量不能用於比較以不同單位表示的多個變數的分數的離散度或變異性。此外，這些絕對度量不適用於比較以相同單位表示但具有很大差異和中心值的兩個分數集的變異性。