心理學中正態機率分佈技術的應用

“正態”一詞的字面意思是平均。在心理學研究、社會學研究和教學中，那些在資格和特徵方面能夠達到特定固定水平的人被稱為正態。同時，那些高於或低於這個點的人是非正態的。大自然已經足夠慷慨地將大多數屬性（如體重、身高、智力等）分配得相當均勻。因此，我們大多數人擁有平均體重、身高、智力和此類屬性。相當一部分人明顯偏離平均水平，無論高於或低於。這同樣適用於從隨機選擇的樣本或人群中透過考試、調查和心理學、社會學和教育實驗收集的資訊，關於成績分數、智商分數、評分分數等。如果將這種分佈繪製在圖表紙上，就會形成一條有趣的典型曲線，類似於鐘形的垂直橫截面。這種鐘形曲線稱為正態曲線。

拉普拉斯和高斯（1777-1855）獨立推匯出了這條曲線。他們研究了物理學和天文學中的實驗誤差。他們發現結果誤差分佈是正態的——因此，誤差曲線被稱為正態誤差曲線或僅僅是誤差曲線。

什麼是正態機率分佈？

根據機率原理，它給出了連續變數的可能得分分佈。一位名叫亞伯拉罕·棣莫弗的數學家發展了這條曲線，它具有單邊的鐘形，具有雙側對稱性，並且建立在機率原理的基礎上。機率的根本原理建立在事件發生的可能性上，正態曲線描繪了這一原理。

計算

將連續變數得分（X）的頻率（f）繪製在一個相當大的樣本中觀察到的頻率，相對於其對應的得分（X），得到正態分佈曲線。

如果將相對頻率（fln）（透過將每個觀察到的頻率除以總頻率n獲得）繪製在其對應的標準分數（z分數）上，則可以得到類似形狀的分佈，這些標準分數是從原始X分數計算得出的，因為z分數是X分數的線性變換；然而，這種分佈被稱為正態分佈，因為它的Y縱座標提供了Z分數的相對頻率或機率，以及伴隨的X分數，而不是觀察到的頻率。

描述正態機率分佈的通用數學方程如下所示

$\mathrm{y = \frac{n}{\sigma\sqrt{2\Pi}}e^\frac{−x^{2}}{2\sigma^{2}}}$

其中，

$\mathrm{y}$ = 頻率

$\mathrm{n}$ = 觀察次數

$\mathrm{\sigma}$ = 分佈的標準差

$\mathrm{\Pi}$ = 3.1416（約）

$\mathrm{e}$ = 2.718（約），奈皮爾對數的底數

$\mathrm{x}$ = 測量值與平均值的偏差

示例

樣本量為1000例。測試分數的平均值為14.5，標準差為2.5。假設分佈為正態，計算12-16分數段中個體的數量。

解答

原始分數12和16都需要轉換為z分數。

原始分數12對應的z分數 = $\mathrm{\frac{X − M}{\sigma}}$

= (12−14.5)/2.5

= −2.5/2.5 = −1$\sigma$

原始分數16對應的z分數 = (16 − 14.5)/2.5 = 1.5/2.5

= 0.6 $\sigma$

根據正態曲線表，2257（10000中的），即22.57％的案例位於平均值和0.6 $\sigma$之間。類似地，在−1 $\sigma$和平均值之間，有3413，即34.13％的案例。這樣，可以很容易地得出結論，在1000人中，有22.57 + 34.13 = 56.7％或567人的分數在12-16範圍內。

性質

正態機率曲線是雙側對稱的。正態曲線圍繞稱為縱座標的垂直軸雙側對稱。50％的曲線位於最大中心縱座標的左側，另外50％位於右側。關於曲線中心點處的縱座標的對稱性表明，曲線一側的曲線斜率、形狀和大小與另一側相同。下圖顯示了中心中間點的左右兩半。

平均數 = 中位數 = 眾數

正態機率曲線是單峰的。曲線只有一個頂點，使其成為單峰的，並且只能有一個眾數。
最大縱座標位於中心附近。縱座標的高度始終在曲線的中心或中點達到峰值，在單位正態曲線上等於0.3989。
正態機率曲線漸近於X軸。曲線的高度在遠離中點兩端的逐漸減小，漸近地接近X軸，但永遠不會接觸X軸。因此，它的末端延伸到負無窮大（$− \infty$）和正無窮大（$+ \infty$）。
曲線高度均勻下降。從頂點向任一方向，曲線的高度都對稱下降。
拐點出現在±1個標準差（$\pm \: 1 \: \sigma$）處。正態曲線方向從凸到凹的變化發生在一個稱為拐點的地方。從兩個拐點垂直繪製到X軸的線在平均值上下一個標準差單位的距離處接觸中心點。
正態曲線總面積在兩個拐點內的百分比是固定的。大約68.26％的總面積位於平均值±1個標準差（$\pm$ 1 $\sigma$）單位的範圍內。