角動量 - 定義、公式、單位、常見問題

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引言：什麼是動量？

角動量和線性動量都是向量。既具有大小又具有方向的物理量稱為向量。例如：位移、速度、動量等。動量是粒子速度和質量的乘積。線上性運動中，它被稱為線性動量，表示為P。

$$\mathrm{線性動量 = 質量 \times 速度}$$

角動量

如果一個粒子沿圓形路徑運動，則稱其處於圓周運動。粒子在圓周運動中的動量稱為角動量。對於封閉路徑，粒子的總角動量是恆定的。角動量定義為圓形路徑的半徑和線性動量的乘積。其單位為$\mathrm{Kg\:m^2 s^{−1}}$。角動量的量綱公式為$\mathrm{[M\:L^2\:T^{−1}]}$。

$$\mathrm{\overrightarrow{L} =\overrightarrow{r}\:\times\: \overrightarrow{P}}$$

或

$$\mathrm{\overrightarrow{L}= \overrightarrow{I}\:\times\:\overrightarrow{\omega}}$$

這裡，

r - 半徑

p - 線性動量

I - 慣性矩

ω - 角速度

粒子的速度是距離 (S) 變化率。類似地，角速度是粒子每秒 (t) 的角位移 (θ)。線速度和角速度的關係為

$$\mathrm{v=rω}$$

角動量公式

讓我們考慮一個剛體，它有 n 個粒子繞垂直於它的軸旋轉。每個粒子的質量為$\mathrm{m_1 ,m_2,m_3...................m_n}$，它們到旋轉軸的距離為$\mathrm{\overrightarrow{r_1},\overrightarrow{r_2},\overrightarrow{r_3}.................\overrightarrow{r_n}}$。由於粒子位置不變，因此它們以相同的角速度 ω 旋轉。

粒子 1 在旋轉運動中的速度為$\mathrm{v_1=r_1\:ω}$

類似地，粒子 2、3、4......................................n 為

$\mathrm{v_2 = r_2 ω,\:v_3 = r_3 ω , …………. v_n = r_n\:ω}$。

粒子 1 的線性動量為$\mathrm{p_1 = m_1 v_1}$

類似地，粒子 2、3........................n 的線性動量為$\mathrm{p_2 = m_2 v_2,\:p_3 = m_3 v_3,\:and\:so\:on\:p_n = m_n v_n.}$

第一個粒子的角動量為$\mathrm{L_1=r_1\:p_1}$

類似地，粒子 2、3..............n 的角動量為$\mathrm{L_2 = r_2 p_2, \:L_3 = r_3 p_3, ……… L_n = r_n p_n}$。

代入$\mathrm{p_1,p_2,p_3..........................p_n}$的值。

$$\mathrm{L_1=r_1 m_1 v_1}$$

$$\mathrm{L_2=r_2 m_2 v_2}$$

$$\mathrm{L_3=r_3 m_3 v_3}$$

$$\mathrm{L_n=r_n m_n v_n}$$

物體的總角動量為

$$\mathrm{L=r_1 m_1 v_1+r_2 m_2 v_2+r_3 m_3 v_3+...................r_n m_n v_n}$$

現在代入$\mathrm{v_1,v_2,v_3.......................v_n}$的值

$$\mathrm{L=m_1 r_1^2 \omega+m_2 r_2^2 \omega+m_3 r_3^2 \omega+.................+m_n r_n^2 \omega}$$

$$\mathrm{L=(m_1 r_1^2+m_2 r_2^2+m_3 r_3^2+................................m_n r_n^2)\omega}$$

$$\mathrm{L = I \omega}$$

$$\mathrm{I=m_1 r_1^2+m_2 r_2^2+m_3 r_3^2+...........................+m_n r_m^2}$$

這是物體繞其旋轉軸的慣性矩的所需方程。

右手螺旋定則

右手定則給出角動量的方向。如果除了拇指以外的四個手指彎曲並顯示物體的旋轉方向，則向上指的拇指表示角動量、角速度和扭矩的方向。

角動量和扭矩

角動量定義為線性動量的矩。扭矩是使物體繞軸旋轉的力。扭矩也是向量。扭矩的單位為 Nm。

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}=rFsin\theta}$$

對於旋轉體，

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau}=\overrightarrow{I}\times \overrightarrow{\alpha}}$$

這裡

$\mathrm{\overrightarrow{\tau}}$= 扭矩

$\mathrm{\overrightarrow{I}}$= 慣性矩 I

$\mathrm{\overrightarrow{\alpha}}$= 角加速度

剛體的扭矩

假設一個剛體包含 n 個粒子，這些粒子繞透過它的軸旋轉，角動量為 ω。每個粒子的質量為$\mathrm{m_1, m_2,....... m_n}$，它們到旋轉軸的距離為$\mathrm{r_1,r_2..................r_n}$。由於它是剛體，因此粒子的角動量與 ω 相同，但粒子的線速度不同，為$\mathrm{v_1,v_2..........................v_n}$。

粒子 1 的角加速度為

$$\mathrm{a_1=\frac{dv_1}{dt}=\frac{d(r_1 ω)}{dt}\:\:\:\:\:(\frac{dr}{dt}=v=rω)}$$

$$\mathrm{a_1=r_1\frac{dω_1}{dt}= r_1\:\alpha\:\:\:\:\:(\frac{dω}{dt}=\alpha)}$$

類似地，粒子 2,.... n 為

$$\mathrm{a_2 = r_2\:\alpha}$$

$$\mathrm{a_n = r_n\:\alpha}$$

作用在粒子 1 上的力為

$$\mathrm{\overrightarrow{F_1}=m_1\overrightarrow{a_1}=m_1\overrightarrow{r_1}\alpha}$$

粒子 2,.... n 上的力為

$$\mathrm{\overrightarrow{F_2}=m_2\overrightarrow{r_2}\overrightarrow{\alpha}..............\overrightarrow{F_n}=m_n\overrightarrow{r_n}\overrightarrow{\alpha}}$$

粒子 1 的扭矩為

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau_1}=\overrightarrow{r_1}\times \overrightarrow{F_1}=\overrightarrow{r_1}\times m_1\overrightarrow{r_1}\overrightarrow{\alpha}}$$

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau_1}=m_1r_1^2\alpha}$$

類似地，粒子 2,....n 為

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau_1}=m_2 r_2^2 \alpha}$$

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau_n}=m_n r_n^2 \alpha}$$

剛體的總扭矩為

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau}=m_1 r_1^2 \alpha+ m_2 r_2^2 \alpha+.......................+m_n r_n^2 \alpha. }$$

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau}=(m_1 r_1^2+m_2 r_2^2+.......................+m_n r_n^2)\alpha}$$

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau}=I\alpha}$$

$$\mathrm{扭矩 = 慣性矩 \times 角加速度}$$

角動量和扭矩之間的關係

剛性旋轉體的扭矩為，

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau}=\overrightarrow{I}\times \overrightarrow{\alpha}}$$

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau}=\overrightarrow{I}\times \frac{d\overrightarrow{\omega}}{dt}\:\:\:\:\:\:\:(\alpha = dω/dt )}$$

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau}=\frac{d(\overrightarrow{I}\times \overrightarrow{\omega})}{dt}\:\:\:\:\:\:(\overrightarrow{L}=\overrightarrow{I}\times \overrightarrow{\omega})}$$

$$\mathrm{\overrightarrow{\tau}=\frac{d\overrightarrow{L}}{dt}}$$

旋轉體的扭矩等於角動量相對於時間的變化率。這表示為牛頓旋轉第二定律。

角動量的例子

角運動在物理學中的運動學中非常重要。角運動的應用非常廣泛。以下是一些使用角動量的例子。

花樣滑冰

在滑冰運動中，運動員應保持其角速度以保持穩定，從而形成不同的圓形路徑圖案。為了降低路徑的角速度，他們伸展手臂，為了增加角速度，他們靠攏。

地球自轉

地球自轉是角動量的最佳例子。地球由於軌道角動量而繞太陽旋轉。地球由於自旋角動量而繞自身軸旋轉。

陀螺儀

它是一種基於角動量守恆原理來維持方向和角速度的裝置。當施加外力時，陀螺輪的旋轉軸保持在固定方向。它用於需要固定方向的空間。由於快速旋轉產生的角動量使陀螺儀能夠直立在其軸上。

結論

角動量是既具有大小又具有方向的向量。角動量由粒子的速度和質量計算得出。其單位為$\mathrm{Kg\:m^2\:s^{−1}}$。右手定則最能解釋角動量的方向。扭矩也是使物體繞軸旋轉的向量。角動量在日常生活中有著廣泛的應用。地球自轉是角動量的最佳例子。

常見問題

Q1. 動量和角動量有什麼區別？

答。

線性動量	角動量
相對於參考點改變其位置的屬性	相對於參考點改變其角度的屬性。
公式 $\mathrm{\overrightarrow{p}=m\times \overrightarrow{v}}$	公式 $\mathrm{\overrightarrow{L}=\overrightarrow{I}\times \overrightarrow{\omega}}$
力 = 質量 x 線性加速度	扭矩 = 慣性矩 x 角加速度
只要施加恆力，它就是恆定的。	4. 只要施加恆定的扭矩，它就是恆定的。
$\mathrm{單位 - Kg\:m^2\:s^{−1}}$	$\mathrm{單位 - Kg\:m^2\:s^{−1}}$

表 1：線性動量和角動量的區別

Q2. 角動量守恆定律是什麼？

答。除非對物體施加扭矩，否則物體的角動量是恆定的。這就是角動量守恆定律。

Q3. 跳水運動員在跳水前和跳水後會改變姿勢。為什麼？

答。在從跳水板跳水之前，跳水運動員會伸展他們的手和腿以保持較大的慣性矩。跳水後，他們會將手和腿收攏以減小慣性矩。因此，由於慣性矩較小，跳水運動員旋轉得更快。再次，在到達水面時，他們伸展身體。

Q4. 花樣滑冰運動員如何控制他們的速度？

答。旋轉時，花樣滑冰運動員伸展或收攏他們的手。他們這樣做是為了降低或提高他們的旋轉速度。

Q5. 用一個例子解釋扭矩？

答。扭矩是旋轉力。在我們家裡開啟和關閉水龍頭時，我們施加了一個扭矩使其旋轉。較短的把手更難開啟，而較長的把手更容易開啟。