角動量守恆

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角動量

任何旋轉物體的角動量定義為轉動慣量乘以角速度。也就是說，它是旋轉物體的轉動慣量和角速度的乘積。很明顯，這是一個向量量；除了大小，還要考慮方向。

任何具有質量的物體或運動體都具有動量，而角動量是表徵運動物體或物體系統繞某一軸線（可能穿過或不穿過該物體或系統）旋轉慣性的性質。地球繞太陽公轉的週年運動以及繞自身軸線自轉的每日旋轉都具有軌道角動量和自旋角動量。

繞軌道執行物體的角動量大小等於其線動量（乘以從旋轉中心到沿物體瞬時運動方向並穿過物體重心的直線的垂直距離r）。在這裡，您可以找到來自各種與物理相關的文章的關於角動量守恆的資訊。

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角動量及其守恆定律是物理學中的重要課題。想要在物理學中取得優異成績的學生必須精通動量才能在考試中取得好成績。這裡討論了扭矩和角動量之間的關係、角動量守恆及其應用，以幫助學生理解該主題。繼續訪問我們的網站以獲取更多物理學方面的幫助。

角動量守恆

這是r（旋轉運動中物體形成的圓的半徑）和p（物體的線動量）的叉積。兩個向量的叉積的大小始終是它們的大小乘以它們之間角度的正弦的乘積，因此角動量的大小由下式給出，角動量是線動量的旋轉模擬，用L表示。

現在，旋轉運動中粒子的角動量定義為：

$${l=r\:x\:p}$$

兩個向量的叉積的大小始終是它們的大小乘以它們之間角度的正弦的乘積。它是r（旋轉運動中物體形成的圓的半徑）和p（物體的線動量）的叉積。

因此，在角動量的情況下，大小由下式給出：

$${l=r\:x\:p \:sin \:\theta}$$

扭矩和角動量之間的關係

只要系統上沒有淨外力矩作用，系統的角動量就守恆。由於角動量守恆定律，地球自太陽系形成以來就一直繞其軸自轉。計算物體角動量的方法有兩種。如果物體是旋轉中的一個點，則我們的角動量等於半徑乘以物體的線動量。

$$\mathrm{\vec{l}=\vec{r}\:\vec{p}}$$

對等式兩邊求導。

$$\mathrm{\frac{\overrightarrow{dl}}{dt}=\frac{d}{dt}(\vec{r}\:x\:\vec{p})}$$

使用叉積微分的性質，該表示式可以寫成：

$$\mathrm{\frac{\overrightarrow{dl}}{dt}=\frac{dr}{dt}x\:\vec{p}+r \frac{\overrightarrow{dp}}{dt}}$$

因此，它是線速度$\mathrm{\vec{
u}}$。

$$\mathrm{\frac{\overrightarrow{dl}}{dt}=\vec{
u}\:x\:\vec{p}+r\frac{\overrightarrow{dp}}{dt}}$$

這裡，p是線動量，即質量乘以速度。現在，

$$\mathrm{\frac{\overrightarrow{dl}}{dt}=\vec{
u}\:x\:m\vec{
u}+\vec{r}\frac{\overrightarrow{dp}}{dt}}$$

注意到第一項，有$\mathrm{\vec{
u}\:\vec{
u}}$

叉積的大小是：

$$\mathrm{\vec{
u}\:x\:\vec{
u} sin \theta}$$

其中角度為0。

因此，整個項變為0。根據牛頓第二定律，我們知道$\mathrm{\frac{\overrightarrow{dp}}{dt}}$是力，所以：

$$\mathrm{\frac{\overrightarrow{dl}}{dt}=\vec{r}\:\vec{F}}$$

因為我們知道$\mathrm{\vec{r}\:\vec{F}}$是力矩

$$\mathrm{\frac{\overrightarrow{dl}}{dt}=\vec{r}}$$

因此我們得到，角動量的變化率是力矩。

角動量守恆的計算

只要系統上沒有淨外力矩作用，任何系統的角動量就守恆；由於角動量守恆定律，地球自太陽系形成以來就一直繞其軸自轉。

目前有兩種計算物體角動量的方法。如果物體是旋轉中的一個點，則角動量等於半徑乘以線動量。也就是說，

$$\mathrm{\vec{l}=\vec{r}\:\vec{p}}$$

如果是一個延展的物體，例如地球，則角動量由轉動慣量（即物體中運動的質量及其到中心的距離）乘以角速度給出。

$$\mathrm{\vec{l}=\vec{I}\:x\:\vec{\omega}}$$

但是，在這兩種情況下，只要沒有淨力作用在它上面，某個給定時間之前的角動量就等於之後的角動量。例如，想象一下旋轉一個系在長繩上的球；角動量將是：

$$\mathrm{\vec{l}=\vec{r}\:\vec{p}=\vec{r}\:m\:\vec{
u}}$$

現在，如果我們在球旋轉時透過縮短繩子來減小球的半徑，r將減小。然後，根據角動量守恆定律，L應該保持不變。質量不可能改變。因此$\mathrm{\vec{v}}$應該增加。為了保持角動量恆定。因此，這就是角動量守恆的證明。

角動量守恆的應用

角動量守恆定律有許多應用，包括：

• 發電機
• 飛機發動機

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常見問題

Q1. 什麼是角動量守恆？

A1. 對於沒有外力矩的系統，角動量是恆定的。

Q2. 角動量守恆的應用？

A2. 飛機發動機、發電機等。

Q3. 我們在哪裡可以找到兩個質量相等的粒子的質心？

A3. 兩個質量相等的粒子的質心位於它們的中間。

Q4. 當一個粒子以這樣的方式運動，使得其相對於參考軸的角位置發生變化時，據說它具有角動量？（說是真還是假）

A4. 如果一個粒子以其角位置相對於參考軸發生變化的方式運動，則據說它具有角動量。

Q5. 考慮一個開始旋轉的滑冰運動員，他的手臂儘可能地張開並平行於冰面。當他將手臂向內拉並垂直舉起手臂時，滑冰運動員的角速度會發生什麼變化？

A5. 當滑冰運動員將手臂向內拉時，由於轉動慣量降低，他的角速度會增加。當他垂直舉起手臂時，滑冰運動員的角速度保持不變，因為質量半徑的分佈沒有改變。