動量守恆

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簡介

你有沒有意識到，接住一個快速移動的球比接住一個緩慢移動的球要困難得多？你有沒有想過，一輛快速行駛的汽車發生事故時造成的損害可能比一輛緩慢行駛的汽車更大？

這都是因為在這兩種情況下都涉及一個物理量，即動量。物體的動量是物體質量和速度的乘積。動量是一個向量，其方向與物體速度的方向相同。因此，在快速移動的球和汽車的情況下，兩者都具有較高的速度，因此動量會很高。

現在，如果我說這個物理量，即系統的動量，在所有情況下都會保持守恆，無論任何條件，只要沒有外力作用於該系統。現在你可能會想——這裡“系統”是什麼意思？所以系統是我們在這個宇宙中定義研究範圍的那一部分。

例如，如果兩個球相互碰撞，而我們必須在這種情況下定義動量守恆，那麼這兩個球就是我們的系統。

牛頓第二運動定律與動量守恆之間的關係

你有沒有注意到上面提到的動量守恆的主要條件之一是沒有外力作用於系統？我們從哪裡得出這個結論呢？如果我說這個條件來自牛頓第二運動定律，你會怎麼想？請回憶牛頓第二運動定律的表述，它指出物體的動量變化率與作用力成正比，並沿作用力的方向發生。因此，如果沒有外力作用於系統，則動量沒有變化，動量保持守恆。

數學推導

現在讓我們透過取兩個在同一方向和一維空間中運動的球作為系統來推匯出動量守恆的數學表示式。設這兩個球的質量分別為$\mathrm{m_1}$和$\mathrm{m_2}$。此外，質量m1的速度為$\mathrm{u_1}$，方向為正x軸，$\mathrm{m_2}$的速度為$\mathrm{u_2}$，方向也為正x軸，如下圖[情況(a)]所示。

我們假設$\mathrm{u_1}$的大小大於$\mathrm{u_2}$的大小。因此，如果它們在一維空間中運動，那麼它們會在一段時間後相互碰撞，如下圖[情況(b)]所示。

圖片即將推出

圖1：座標軸

在碰撞過程中，兩個球會在相反的方向上相互施加力，並且由於這兩個力作用於彼此的時間非常短，所以我們可以說球在碰撞過程中相互施加衝量。現在你可能會感到困惑，既然有力的作用或衝量的存在，那麼我們怎麼能守恆動量呢？答案是，這個力作用在系統內部，所以這個力是系統內部力而不是外力。

圖片即將推出

圖2：表示一維空間中所有碰撞情況

現在讓我們假設m₁和m₂碰撞後的速度分別為v₁和v₂。因此，如果我們寫出碰撞前總動量(初始動量=pi)的表示式，則它將是 -

$$\mathrm{p_i = m_1u_1 + m_2u_2 …. (1)}$$

碰撞後的動量(最終動量=pf)將是 -

$$\mathrm{p_f = m_1v_1 + m_2v_2 …. (2)}$$

現在你可能會問，動量是一個向量，那麼我們怎麼能用代數方法將其相加呢？答案是，由於這兩個球都在同一方向和一維空間中運動，因此在這兩種情況下速度方向相同，我們可以使用代數方法輕鬆地將它們相加。

現在，正如我們所看到的，當兩個球碰撞時，它們會在相反的方向上相互施加力或衝量。設$\mathrm{m_1}$施加的力為$\mathrm{F_{21}}$，$\mathrm{m_2}$施加的力為$\mathrm{F_{12}}$。現在根據牛頓第三運動定律，這兩個衝力將相等且方向相反，可以寫成 -

$$\mathrm{F_{21} = − F_{12}\:\:\:…. (3)}$$

負號表示衝力的方向相反。設碰撞接觸時間為‘t’，則根據牛頓第二運動定律，第一個球的公式為 -

$$\mathrm{F_{21}\:=\:\frac{m_1v_1\:-\:m_1u_1}{t}\:\:\:…. (4)}$$

$$\mathrm{F_{12}\:=\:\frac{m_2v_2\:-\:m_2u_2}{t}\:\:\:…. (5)}$$

現在根據公式(3) -

$$\mathrm{\Rightarrow\:\lgroup\frac{m_1v_1\:-\:m_1u_1}{t}\rgroup\:=\:-\lgroup\frac{m_2v_2\:-\:m_2u_2}{t}\rgroup}$$

所以，

$$\mathrm{\Rightarrow\:m_1v_1\:-\:m_1u_1\:=\:m_2v_2\:-\:m_2u_2}$$

$$\mathrm{\Rightarrow\:m_1u_1\:+\:m_2u_2\:=\:m_1v_1\:+\:m_2v_2}$$

現在從(1)和(2)，我們可以寫出

$$\mathrm{\Rightarrow\:p_i\:=\:p_f}$$

因此，當沒有外力作用於系統時，動量保持守恆。

動量守恆的例子

火箭推進

火箭有一個氣體室，在推進開始時，氣體室以非常高的速度噴射氣體。由於在推進之前，火箭和氣體室中的氣體是靜止的，因此初始總動量為零。但是推進後，氣體獲得向下方向的速度，因此氣體的動量向下。為了守恆動量，火箭將向上移動。

槍支的後坐力

眾所周知，槍支內部有子彈，在射擊前，兩者作為一個系統保持靜止。一旦我們開槍，子彈就會以非常高的速度射出並獲得一定的動量。為了守恆動量，槍支也會在相反的方向獲得一定的速度。這種現象稱為槍支的後坐力。

常見問題

Q1. 動量是標量還是向量？

A1. 動量是向量，因為它既有大小又有方向。它也遵循向量代數定律。

Q2. 系統中動量守恆的主要條件是什麼？

A2. 為了守恆動量，系統上不應該有任何外力作用。

Q3. 給出一些動量守恆的現實生活例子。

A3. 槍支的後坐力、火箭推進和炸彈爆炸是幾個現實生活中的例子，它們體現了動量守恆。

Q4. 動量守恆基於哪條運動定律？

A4. 動量守恆基於牛頓第三運動定律，該定律指出，對於每一個作用，都有一個大小相等、方向相反的反作用。這意味著所有力總是成對出現的，一個物體不能在不受到自身作用力的前提下對另一個物體施加力。

Q5. 什麼是衝力？

A5. 當某個力作用時間非常短，導致動量發生變化時，它被稱為衝力。