點\( A\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)和\( \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \)是\( \Delta \mathrm{ABC} \)的頂點
求在\( AD \)上使\( AP: PD=2: 1 \)的點\( P \)的座標。
已知
點\( A\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)和\( \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \)是\( \Delta \mathrm{ABC} \)的頂點
從\( \mathrm{A} \)出發的中線在\( \mathrm{BC} \)上交於\( \mathrm{D} \)。
要求
我們需要找到在\( AD \)上使\( AP: PD=2: 1 \)的點\( P \)的座標。
解答
我們知道，
中線將線段分成兩等份
$D$ 是 $BC$ 的中點。
這意味著，
$BC$ 中點的座標為$(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})$
$D=(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})$.
設點 $P$ 的座標為 $(x, y)$。
點 $P(x, y)$ 將連線 $A(x_{1}, y_{1})$ 和 $D(\frac{x_{2}+x_{3}}{2}, \frac{y_{2}+y_{3}}{2})$ 的線段分成 $2: 1$ 的比例。
使用內分點公式，我們得到：
$(x,y)=(\frac{m x_{2}+n x_{1}}{m+n}, \frac{m y_{2}+n y_{1}}{m+n})$
$P$ 的座標
為 $P(x, y)=[\frac{2(\frac{x_{2}+x_{3}}{2})+1(x_{1})}{2+1}, \frac{2(\frac{y_{2}+y_{3}}{2})+1 (y_{1})}{2+1}]$
$=(\frac{x_{2}+x_{3}+x_{1}}{3}, \frac{y_{2}+y_{3}+y_{1}}{2})$
因此，
點 $P$ 的所需座標為 $(\frac{x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}, \frac{y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3})$.
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