如果三個點$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$在同一條直線上，證明\( \frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} x_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0 \).
已知
點$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$在同一條直線上。
要求
我們需要證明
\( \frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} x_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0 \).
解答
設$A(x_1, y_1), B(x_2, y_2), C(x_3, y_3)$為$\triangle ABC$的頂點。
我們知道，
如果點$A, B$和$C$共線，則$\triangle ABC$的面積為零。
頂點為$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$的三角形的面積由以下公式給出：
三角形面積$\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$
因此，
三角形\( ABC\)的面積\(=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})] \)
\( 0=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})] \)
\( x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})=0 \)
除以\( x_{1} x_{2} x_{3} \)，得到
\( \frac{x_{1}\left(y_{2}-y_{3}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}+\frac{x_{2}\left(y_{3}-y_{1}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}+\frac{x_{3}\left(y_{1}-y_{2}\right)}{x_{1} x_{2} x_{3}}=0 \)
\( \frac{y_{2}-y_{3}}{x_{2} x_{3}}+\frac{y_{3}-y_{1}}{x_{3} x_{1}}+\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1} x_{2}}=0 \)
證畢。
- 相關文章
- 點\( A\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)和\( \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \)是\( \Delta \mathrm{ABC} \)的頂點三角形 ABC 的重心的座標是什麼？
- 點\( A\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)和\( \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \)是\( \Delta \mathrm{ABC} \)的頂點在 AD 上找到點 P，使得 AP:PD=2:1
- 點\( A\left(x_{1}, y_{1}\right), \mathrm{B}\left(x_{2}, y_{2}\right) \)和\( \mathrm{C}\left(x_{3}, y_{3}\right) \)是\( \Delta \mathrm{ABC} \)的頂點來自 A 的中線在 D 處與 BC 相交。求點 D 的座標。
- 如果$\overline{X}$是十個自然數$x_1, x_2, x_3, …, x_{10}$的平均數，證明$(x_1 - \overline{X}) + (x_2 - \overline{X}) + … + (x_{10} - \overline{X}) = 0$。
- 證明：\( \frac{(0.6)^{0}-(0.1)^{-1}}{\left(\frac{3}{8}\right)^{-1}\left(\frac{3}{2}\right)^{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{-1}}=-\frac{3}{2} \)
- 證明：\( \sqrt{\frac{1}{4}}+(0.01)^{-1 / 2}-(27)^{-2 / 3}=\frac{3}{2} \)
- 在以下每種情況下，求 n 和 X 的值：$\sum\limits _{i=1}^{n}( x_{i} -12) =-10$ 和 $\sum\limits _{i=1}^{n}( x_{i} -3) =62$。
- 計算 $7\frac{1}{3}\div \frac{2}{3}$ 的 $2\frac{1}{5}+1\frac{3}{8}\div 2\frac{3}{4}-1 \frac{1}{2}$。
- 證明：\( 9^{\frac{3}{2}}-3 \times 5^{0}-\left(\frac{1}{81}\right)^{\frac{-1}{2}}=15 \)
- 計算(a) \( \frac{2}{3}+\frac{1}{7} \)(b) \( \frac{3}{10}+\frac{7}{15} \)(c) \( \frac{4}{9}+\frac{2}{7} \)(d) \( \frac{5}{7}+\frac{1}{3} \)(e) \( \frac{2}{5}+\frac{1}{6} \)(f) \( \frac{4}{5}+\frac{2}{3} \)(g) \( \frac{3}{4}-\frac{1}{3} \)(h) \( \frac{5}{6}-\frac{1}{3} \)(i) \( \frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{1}{2} \)(j) \( \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} \)(k) \( 1 \frac{1}{3}+3 \frac{2}{3} \)(l) \( 4 \frac{2}{3}+3 \frac{1}{4} \)(m) \( \frac{16}{5}-\frac{7}{5} \)(n) \( \frac{4}{3}-\frac{1}{2} \)
- 化簡：\( 5 \frac{1}{4} \p 2 \frac{1}{3}-4 \frac{2}{3} \p 5 \frac{1}{3} \times 3 \frac{1}{2} \)
- 計算： $9^{\frac{3}{2}}-3 \times 5^{0}-( \frac{1}{81})^{-\frac{1}{2}}$。
- 證明：\( \frac{2^{n}+2^{n-1}}{2^{n+1}-2^{n}}=\frac{3}{2} \)
- 求解 x：$\frac{1}{x}+\frac{2}{2x-3}=\frac{1}{x-2}, x≠0, \frac{3}{2}, 2$
- 化簡：$[ ( \frac{3}{2})^{-2}-( \frac{1}{3})^{2}]\times( \frac{5}{3})^{-2}$。
資料結構
網路
關係資料庫管理系統
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C 語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化學
生物
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
服裝設計
法律研究