SymPy - 積分

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SymPy 包包含 integrals 模組。它實現了計算表示式定積分和不定積分的方法。integrate() 方法用於計算定積分和不定積分。要計算不定積分或原函式，只需在表示式後傳遞變數。

例如 -

integrate(f, x)

要計算定積分，請按如下方式傳遞引數 -

(integration_variable, lower_limit, upper_limit)

>>> from sympy import * 
>>> x,y = symbols('x y') 
>>> expr=x**2 + x + 1 
>>> integrate(expr, x)

以上程式碼片段給出的輸出等價於以下表達式 -

$\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + x$

>>> expr=sin(x)*tan(x) 
>>> expr 
>>> integrate(expr,x)

以上程式碼片段給出的輸出等價於以下表達式 -

$-\frac{\log(\sin(x) - 1)}{2} + \frac{\log(\sin(x) + 1)}{2} - \sin(x)$

定積分的示例如下 -

>>> expr=exp(-x**2) 
>>> integrate(expr,(x,0,oo) )

以上程式碼片段給出的輸出等價於以下表達式 -

$\frac{\sqrt\pi}{2}$

您可以傳遞多個極限元組來執行多重積分。示例如下 -

>>> expr=exp(-x**2 - y**2)
>>> integrate(expr,(x,0,oo),(y,0,oo))

以上程式碼片段給出的輸出等價於以下表達式 -

$\frac{\pi}{4}$

您可以使用 Integral 物件建立未計算的積分，可以透過呼叫 doit() 方法來計算它。

>>> expr = Integral(log(x)**2, x) 
>>> expr

以上程式碼片段給出的輸出等價於以下表達式 -

$\int \mathrm\log(x)^2 \mathrm{d}x$

>>> expr.doit()

以上程式碼片段給出的輸出等價於以下表達式 -

$x\log(x)^2 - 2xlog(x) + 2x$

積分變換

SymPy 支援以下各種型別的積分變換 -

• laplace_transform
• fourier_transform
• sine_transform
• cosine_transform
• hankel_transform

這些函式在 sympy.integrals.transforms 模組中定義。以下示例分別計算傅立葉變換和拉普拉斯變換。

示例 1

>>> from sympy import fourier_transform, exp 
>>> from sympy.abc import x, k 
>>> expr=exp(-x**2) 
>>> fourier_transform(expr, x, k)

在 Python Shell 中執行上述命令後，將生成以下輸出 -

sqrt(pi)*exp(-pi**2*k**2)

等價於 -

$\sqrt\pi * e^{\pi^2k^2}$

示例 2

>>> from sympy.integrals import laplace_transform 
>>> from sympy.abc import t, s, a 
>>> laplace_transform(t**a, t, s)

在 Python Shell 中執行上述命令後，將生成以下輸出 -

(s**(-a)*gamma(a + 1)/s, 0, re(a) > -1)