級數 5+55+555+... 的前 n 項和

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5, 55, 555, ... 是一個可以從等比數列推匯出的數列，因此可以使用等比數列公式進行計算。

等比數列是一種數列，其中每一項都是前一項乘以某個特定項（比率）的結果。我們將利用等比數列的知識來求出給定數列的和。

問題陳述

給定一個數字 n，求數列 5+55+555+... 的前 n 項和。

示例

Input −  N = 3
Output − 595

解釋

5 + 5 + 555 = 595.

Input −  N = 5
Output − 61716

解釋

5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 61716.

解決方案

Let sum = 5 + 55 + 555 +… n terms. 
This is not GP, but we can relate it to GP in the following manner:
= 5(1) + 5(11) + 5(111) + … n terms
Taking 5 common:
= 5[1 + 11 + 111 + …n terms]
Divide and multiply by 9:
= 5/9[9 + 99 + 999 + … n terms] 
= 5/9[(10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + … n terms] 
= 5/9[(10^1 – 1) + (10^2 – 1) + (10^3 – 1) + … n terms] 
= 5/9[10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms – (1 + 1 + … n times)] 
= 5/9[10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms – n] 
We will solve (10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms) as following:
We can observe that it is a GP, where the first term a = 10.
And the common ratio r = 10^2/10 = 10.
Hence, the GP formula:
Sum of n terms = a(r^n-1) / (r-1) (where r>1)
Putting the values of r and a:
10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms = 10(10^n-1)/(10-1)
Substituting the values:
 5/9[10^1 + 10^2 + 10^3 ...n terms – n]  
= 5/9[10(10n-1)/(10-1) – n] 
= 50/81(10n – 1) – 5n/9

我們可以使用上述公式來編寫解決方案的程式。

虛擬碼

main()

• 將 n 初始化為 5。

• 函式呼叫：sumOfSeries(n)

sumOfSeries(int n)

• product = 0.6172 * (pow(10,n)-1) - 0.55 * n

• 列印 product

示例

下面是一個 C++ 程式，用於求解數列 5 + 55 + 555.....n 的和

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// Function to calculate the
// the sum of series
int sumOfSeries(int n){
   int product = 0.6172 * (pow(10,n)-1) - 0.55 * n;
   return product;
}
int main(){
   //Input
   int n = 5;
   //Function call to calculate the sum of series
   cout << "Given Series; 5 + 55 + 555 + ..." << endl;
   int answer = sumOfSeries(n);
   //Print the answer
   cout << "Sum up to 5 terms: " << answer<< endl;
   return 0;
}

輸出

Given Series; 5 + 55 + 555 + ...
Sum up to 5 terms: 61716

分析

時間複雜度 − O(log n)。

程式的時間複雜度是對數級的，因為使用了冪函式。

空間複雜度 − O(1)

空間複雜度是常數級的，因為沒有使用額外的空間。

結論

在本文中，我們討論了求解數列 5+55+555+… 的前 n 項和的問題。輸入中給出了 N。

我們使用等比數列求解了該數列，並編寫了虛擬碼和 C++ 程式。