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法學二階系統瞬態響應
為了理解二階系統的瞬態響應，考慮具有單位負反饋的閉環系統的框圖。
二階系統的開環傳遞函式由下式給出：
$$G(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s+2\zeta\:\omega_{n})}$$
二階系統的閉環傳遞函式由下式給出：
$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}} \:\:\:\:...(1)$$
其中：
R(s) = 輸入訊號r(t)的拉普拉斯變換，
C(s) = 輸出訊號c(t)的拉普拉斯變換，
ξ= 阻尼比，
Ωn = 自然振盪頻率。
從公式(1)可以看出，分母項中s的冪為二。因此，該傳遞函式表示一個二階控制系統。
二階系統的特徵方程是透過將閉環傳遞函式的分母等於零得到的，即：
$$s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}\:\:\:\:...(2)$$
二階系統響應的表示式可以寫成：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})R(s)\:\:\:\:\:...(3)$$
當 ξ = 0 時，系統為無阻尼系統。
當 ξ = 1 時，系統為臨界阻尼系統。
當 0 < ξ < 1 時，系統為欠阻尼系統。
當 ξ > 1 時，系統為過阻尼系統。
二階系統的單位階躍響應
在二階系統的輸入端施加單位階躍訊號：
$$r(t)=u(t)$$
對兩邊進行拉普拉斯變換：
$$R(s)=\frac{1}{s}$$
情況1 – 當 (ξ = 0) 即系統為無阻尼系統時，公式(3)變為：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+\omega_{n}^{2}})R(s)$$
$$\Rightarrow\:C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+\omega_{n}^{2}})(\frac{1}{s})=\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s^{2}+\omega_{n}^{2})}$$
對兩邊進行逆拉普拉斯變換，得到：
$$C(t)=(1-\cos(\omega_{n}t))u(t)\:\:\:\:\:...(4)$$
公式(4)表明，無阻尼系統的單位階躍響應是具有恆定幅度和頻率的連續時間訊號。
情況2 – 當 (ξ = 1) 即系統為臨界阻尼系統時，公式(3)可以寫成：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})R(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\omega_{n})^{2}})R(s)$$
$$\Rightarrow\:C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\omega_{n})^{2}})\frac{1}{s}=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s+\omega_{n})^{2}})$$
透過進行部分分式分解求解上述方程，得到：
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\omega_{n}}-\frac{\omega_{n}}{(s+\omega_{n})^{2}}$$
對兩邊進行逆拉普拉斯變換：
$$C(t)=(1-e^{-\omega_{n}t}-\omega_{n}te^{-\omega_{n}t})u(t)\:\:\:\:\:...(5)$$
當系統為臨界阻尼系統時，公式(5)表明，二階系統的單位階躍響應將試圖達到穩態階躍輸入。
情況3 – 當 (0 < ξ < 1) 即系統為欠阻尼系統時，公式(3)變為：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}+\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2})})R(s)$$
$$\Rightarrow\:C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}+\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2})})(\frac{1}{s})=\frac{\omega_{n}^{2}}{s((s+\zeta\:\omega_{n})^{2}+\omega_{n}^{2}(1-\zeta^{2}))}$$
使用部分分式法求解上述方程，得到：
$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{(s+\zeta\:\omega_{n})}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}+\omega_{d}^{2}}-\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}(\frac{\omega_{d}}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}+\omega_{d}^{2}})$$
對上述方程的兩邊進行逆拉普拉斯變換，得到：
$$C(t)=(1-(\frac{e^{\zeta\:\omega_{n}t}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}})\sin(\omega_{d}t+\theta))u(t)\:\:\:...(6)$$
其中：
$$\omega_{d}=\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}$$
公式(6)表明，當系統為欠阻尼系統時，系統的單位階躍響應具有阻尼振盪，即幅度遞減的響應。
情況4 – 當 (ξ > 1) 即系統為過阻尼系統時，響應表示式可以寫成：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}-\omega_{n}^{2}(\zeta^{2}-1)})R(s)$$
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\zeta\:\omega_{n})^{2}-\omega_{n}^{2}(\zeta^{2}-1)})(\frac{1}{s})=\frac{\omega_{n}^{2}}{s((s+\zeta\:\omega_{n})^{2}-\omega_{n}^{2}(\zeta^{2}-1))}$$
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s(s+\zeta\:\omega_{n}+\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})(s+\zeta\:\omega_{n}-\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})})$$
使用部分分式法求解上述方程，得到：
$$C(s)=\frac{1}{s}+\frac{1}{2(\zeta\:+\sqrt{\zeta^{2}}-1)(\sqrt{\zeta^{2}}-1)}(\frac{1}{s+\zeta\:\omega_{n}+\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1}})-\frac{1}{2(\zeta\:-\sqrt{\zeta^{2}}-1)(\sqrt{\zeta^{2}}-1)}(\frac{1}{s+\zeta\:\omega_{n}-\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1}})$$
對兩邊進行逆拉普拉斯變換：
$$C(t)=[1+\lbrace(\frac{1}{2(\zeta\:+\sqrt{\zeta^{2}-1})(\sqrt{\zeta^{2}-1})})e^{-(\zeta\:\omega_{n}+\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})t}\rbrace\:-\:\lbrace(\frac{1}{2(\zeta\:-\sqrt{\zeta^{2}-1})(\sqrt{\zeta^{2}-1})})e^{-(\zeta\:\omega_{n}-\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})t}\rbrace]u(t)\:\:\:\:\:...(7)$$
公式(7)是過阻尼二階系統的單位階躍響應，該響應永遠不會達到穩態階躍輸入。
二階系統的單位衝激響應
在二階系統的輸入端施加單位衝激訊號：
$$r(t)=\delta(t)$$
對兩邊進行拉普拉斯變換：
$$R(s)=1$$
眾所周知，二階系統的響應由下式給出：
$$c(s)=(\frac{\omega_{b}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})R(s)$$
因此，對於衝激輸入，我們得到：
$$c(s)=(\frac{\omega_{b}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})$$
情況1 – 無阻尼系統 (ξ = 0)，
$$C(t)=\omega_{n}\sin(\omega_{n}t)\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:\:\:\:....(8)$$
情況2 – 臨界阻尼系統 (ξ = 1)，
$$C(s)=\omega_{n}^{2}te^{-\omega_{n}t}\:\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:\:\:....(9)$$
情況3 – 欠阻尼系統 (0 < ξ < 1)，
$$C(t)=(\frac{\omega_{ne^{-\zeta\:\omega_{n}t}}}{\sqrt{1-\zeta^{2}}})\sin(\omega_{d}t)\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:\:\:\:\:...(10)$$
情況4 – 過阻尼系統 (ξ > 1)，
$$C(t)=(\frac{\omega_{n}}{2\sqrt{1-\zeta^{2}}})[(e^{-(\zeta\:\omega_{n}-\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})t})-(e^{-(\zeta\:\omega_{n}+\omega_{n}\sqrt{\zeta^{2}-1})t})]\:\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:\:\:\:...(11)$$
二階系統的單位斜坡響應
在二階系統的輸入端施加單位斜坡訊號：
$$r(t)=t\:u(t)$$
對兩邊進行拉普拉斯變換：
$$R(s)=\frac{1}{s^{2}}$$
二階系統的響應方程由下式給出：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})R(s)$$
施加斜坡訊號後，上述方程變為：
$$C(s)=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2}})(\frac{1}{s^{2}})=(\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}(s^{2}+2\zeta\:\omega_{n}s+\omega_{n}^{2})})$$
因此，對於欠阻尼系統，即 (0 < ξ < 1)，
$$C(t)=t-\frac{2\zeta}{\omega_{n}}+e^{-\zeta\:\omega_{n}t}(\frac{2\zeta}{\omega_{n}}\cos(\omega_{d}t)+\frac{2\zeta^{2}-1}{\omega_{n}\sqrt{1-\zeta^{2}}}\sin(\omega_{d}t))\:\:\:\:\:\:...(12)$$
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