一階系統暫態響應

為了理解一階系統的暫態響應，考慮一個具有單位負反饋的閉環系統的框圖。

具有單位負反饋的系統的開環增益G(s)由下式給出：

$$G(s)=\frac{1}{s\tau}$$

具有單位負反饋的系統的閉環傳遞函式為：

$$\frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(s)}=\frac{1}{s\tau+1}\:\:\:...(1)$$

其中：

• R(s) = 輸入訊號r(t)的拉普拉斯變換，

• C(s) = 輸出訊號c(t)的拉普拉斯變換，

• τ = 系統的時間常數。

我們可以看到，閉環傳遞方程的分母項中s的冪為1。因此，該系統被稱為一階系統。

$$C(s)=\frac{1}{s\tau+1}R(s)\:\:\:...(2)$$

一階系統的單位階躍響應

將單位階躍訊號作為輸入應用於一階系統：

$$r(t)=u(t)$$

對兩邊進行拉普拉斯變換：

$$R(s)=\frac{1}{s}$$

$$C(s)=(\frac{1}{s\tau+1})(\frac{1}{s})=\frac{1}{s(s\tau+1)}\:\:\:....(3)$$

透過對方程(3)進行部分分式分解，我們得到：

$$\frac{1}{s(s\tau+1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s\tau+1)}=\frac{A(s\tau+1)+Bs}{s(s\tau+1)}\:\:\:\:...(4)$$

比較方程(4)的左右兩邊，我們得到：

$$A(s\tau+1)+Bs=1\:\:\:...(5)$$

透過對方程(5)兩邊的常數項進行比較，我們得到A = 1。將A = 1代入方程(5)，我們有：

$$B+\tau=0\Rightarrow\:B=-\tau$$

現在，將A和B的值代入方程(4)，我們得到：

$$C(s)=\frac{1}{s}-\frac{\tau}{s\tau+1}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{\tau}}\:\:\:...(6)$$

對方程(6)兩邊進行拉普拉斯逆變換：

$$C(t)=(1-e^{\frac{-t}{\tau}})u(t)\:\:\:...(7)$$

方程(7)表示一階系統對單位階躍輸入的響應，它既有穩態項也有暫態項。當t = 0時，單位階躍響應c(t)的值為零。對於t的所有正值，它將從零逐漸增加到穩態值一。

一階系統的單位斜坡響應

在一階系統的輸入端使用單位斜坡訊號。

$$\because\:\:r(t)=t\:u(t)$$

進行拉普拉斯變換：

$$R(s)=\frac{1}{s^{2}}$$

由於一階系統的響應由下式給出：

$$C(s)=(\frac{1}{s\tau+1})R(s)\:\:\:\:...(8)$$

將R(s)的值代入方程(8)，我們有：

$$C(s)=(\frac{1}{s\tau+1})(\frac{1}{s^{2}})\:\:\:\:...(9)$$

透過進行部分分式分解求解，我們得到：

$$C(s)=\frac{1}{s^{2}}-\frac{\tau}{s}+\frac{\tau}{s+\frac{1}{\tau}}\:\:\:...(10)$$

對方程(10)進行拉普拉斯逆變換，我們有：

$$C(t)=(t-\tau+\tau\:e^{-t/\tau})u(t)\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:...(11)$$

方程(11)顯示了一階系統對單位斜坡輸入的時間響應，對於t的所有正值，c(t)都遵循單位斜坡訊號。但是，與輸入訊號存在τ個單位的偏差。從方程(t)中也可以看出，c(t)既有穩態項也有暫態項。

一階系統的脈衝響應

在一階系統的輸入端施加單位脈衝響應：

$$r(t)=\delta(t)$$

對兩邊進行拉普拉斯變換：

$$R(s)=1$$

由於一階系統的響應為：

$$C(s)=(\frac{1}{s\tau+1})R(s)\:\:\:\:...(12)$$

將R(s) = 1代入方程(12)，我們有

$$C(s)=(\frac{1}{s\tau+1})(1)=(\frac{1}{s\tau+1})$$

$$C(s)=\frac{1}{\tau(s+1/\tau)}=\frac{1}{\tau}(\frac{1}{s+1/\tau})\:\:\:\:...(13)$$

對方程(13)兩邊進行拉普拉斯逆變換，我們得到：

$$C(t)=\frac{1}{\tau}e^{(-t/\tau)}u(t)\:\:\:\:for\:t\geq0\:\:\:\:...(14)$$

方程(14)顯示了一階系統的單位脈衝響應。對於t的正值，c(t)是一個指數衰減訊號。

一階系統時間響應總結

Saini Manish Kumar

更新於：2021年5月29日

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