二階導數

---

簡介

在微積分中，導數是解決問題和微分方程的基本工具。科學家們使用導數作為工具來分析動態系統，以確定變數的變化，並利用這些變化來構建微分方程，並使用積分來預測未來的變化。簡單來說，二階導數是一個函式的兩個連續導數，或者說是該函式的一階導數的導數。在本教程中，我們將學習導數、導數的階數、二階導數、引數函式的二階導數以及一些解題示例。

導數

由實變數組成的函式的導數，衡量該函式的斜率或其值相對於其他變數的變化。輸出稱為函式值，而輸入稱為引數。導數用 $\mathrm{\frac{dy}{dx}}$ 表示。也寫成 $\mathrm{\frac{d}{dx}(y)}$ 表示 y 相對於 x 的變化。導數給出了函式在圖形上的斜率。

導數的階數

給出函式的斜率，而二階導數給出例如，測量距離隨時間變化的速率，即速度，可以用函式的一階導數給出，而速度的變化，即加速度，可以用該函式的二階導數給出。函式的一階導數可以寫成 $\mathrm{\frac{dy}{dx}}$，而二階導數可以用 $\mathrm{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$ 表示。一階導數曲線形狀。

二階導數

一種用於計算階數為 2 的函式導數的特殊型別的微分方程稱為二階導數。它可以表示為

$\mathrm{y"\:,\:d^{2}y\:/\:dx^{2}\:,\:y"(x )}$

一個具有可變係數的二階微分方程可以簡單地寫成 $\mathrm{y"\:+\:p(x)y'\:+\:q(x)y\:=\:f(x)\:,\:Where\:p(x)\:,\:q(x)\:,\:and\:f(x)}$ 是方程中 x 的函式。而對於常係數，它可以表示為 $\mathrm{y"\:+\:py'\:+\:qy\:=\:0}$ 。

引數函式的二階導數

在某些情況下，使用函式來建立自變數和因變數之間的關係變得複雜。因此，使用第三個變數來簡化計算。使用的第三個變數稱為引數，表示式稱為引數方程。

因此，現在有三個變數 x、y 和 t。由於 t 是引數，它成為自變數，而 x 和 y 成為因變數。因此，x 和 y 表示為 t 的方程。

因此，引數函式的二階導數可以表示為 -

$$\mathrm{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\:=\:\frac{d}{dx}\:.\:\frac{dy}{dx}(t)}$$

但是當我們應用導數時，函式是變數 t 的函式，我們正在對 x 求導，根據鏈式法則，項 $\mathrm{\frac{dt}{dx}}$ 會相乘，為了抵消它，我們將乘以 $\mathrm{\frac{dx}{dt}}$。

$$\mathrm{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\:=\:(\frac{d^{2}y}{dx^{2}}\:.\:\frac{dt}{dx})\:.\:\frac{dx}{dt}}$$

解題示例

1. 求解二階微分方程 $\mathrm{b"\:-\:6b'\:+\:5b\:=\:0}$

解：假設 $\mathrm{b\:=\:e^{ra}}$ 並求其一階和二階導數 - $\mathrm{b'\:=\:re^{ra}\:,\:b"\:=\:r^{2}e^{ra}}$

接下來，將 $\mathrm{b,\:b'\:,\:and\:b"\:in\:b"\:-\:6b'\:+\:5b\:=\:0}$ 的值代入

$$\mathrm{r^{2}e^{ra}\:-\:6re^{ra}\:+\:5e^{ra}}$$

$$\mathrm{=\:e^{ra}(r^{2}\:-\:6r\:+\:5)}$$

$\mathrm{=\:r^{2}\:-\:6r\:+\:5}$

$\mathrm{\Longrightarrow\:(r\:-\:5)(r\:-\:1)\:=\:0}$

$\mathrm{\Longrightarrow\:r\:=\:1\:and\:5}$

給定微分方程的解可以表示為 $\mathrm{b\:=\:Ae^{a}\:+\:Be^{5a}}$，因為微分方程的根是實數。

2. 考慮給定的方程 $\mathrm{q"\:-\:8q'\:+\:16q\:=\:0}$ 並求其二階導數。

解 - 假設 $\mathrm{q\:=\:e^{rp}}$，一階導數由 - $\mathrm{q'\:=\:re^{rp}}$ 給出，二階導數由 - $\mathrm{q"\:=\:r^{2}e^{rp}}$ 給出

接下來，將 $\mathrm{q\:,\:q'\:and\:q"\:in\:q"\:-\:8q'\:+\:16q\:=\:0}$ 的值代入 我們有，

$$\mathrm{r^{2}e^{rp}\:-\:8re^{rp}\:+\:16e^{rp}\:=\:=}$$

$\mathrm{\Longrightarrow\:e^{rp}(r^{2}\:-\:8r\:+\:16)\:=\:0}$

$\mathrm{\Longrightarrow\:r^{2}\:-\:8r\:+\:16\:=\:0}$

$\mathrm{\Longrightarrow\:r^{2}\:-\:8r\:+\:16\:=\:0}$

$\mathrm{(r\:-\:4)(\:-\:4)\:=\:0}$

$\mathrm{r\:=\:4\:and\:4}$

給定微分方程的解可以表示為 $\mathrm{q\:=\:Ae^{4p}\:+\:Bpe^{4p}}$，因為微分方程的根是相同的實數。

示例 3：考慮給定的方程 $\mathrm{9q"\:+\:12q'\:+\:29q\:=\:0}$，並求其二階導數。

解：假設 $\mathrm{q\:=\:e^{rp}}$，一階導數由 - $\mathrm{q'\:=\:re^{rp}}$ 給出，二階導數由 - $\mathrm{q"\:=\:r^{2}e^{rp}}$ 給出

接下來，將 $\mathrm{q\:,\:q'\:,\:and\:q"\:in\:9q"\:+\:12q'\:+\:29q\:=\:0}$ 的值代入 我們有，

$$\mathrm{9q"\:+\:12q'\:+\:29q\:=\:0}$$

$\mathrm{\Longrightarrow\:e^{rp}(9r^{2}\:+\:12qr\:+\:29\:=\:0)}$

$\mathrm{\Longrightarrow\:9r^{2}\:+\:12r\:+\:29\:=\:0\:\:\rightarrow\:特徵方程}$

$\mathrm{\Longrightarrow\:r\:=\:[\frac{-12\:\pm\:\sqrt{12^{2}\:-\:4\:\times\:9\:\times\:29}}{2\:\times\:9}]}$

$\mathrm{\Longrightarrow\:r\:=\:(-2\:/\:3)\:\pm\:(5\:/\:3)i}$

給定微分方程的解可以表示為 $\mathrm{q\:=\:e^{(-2\:3)x}[A\:\sin\:(5\:/\:3)x\:+\:B\:\cos\:(5\:/\:3)x]}$，因為微分方程的根是複數。

結論

在本教程中，我們學習了微積分和函式的二階導數及其意義。在微積分中，導數是解決問題和微分方程的基本工具。由實變數組成的函式的導數衡量輸出相對於輸入的變化。函式的一階導數可以寫成 $\mathrm{\frac{dy}{dx}}$，而二階導數可以用 $\mathrm{\frac{d^{2}y}{dx^{2}}}$ 表示。一種用於計算階數為 2 的函式導數的特殊型別的微分方程稱為二階導數。

常見問題

1. 一階和二階導數告訴我們關於函式圖形的什麼資訊？

一階導數給出函式的斜率，如果一階導數為正，則函式的圖形遞增，負數表示遞減，0 表示中性。而二階導數給出函式曲線的形狀，如果二階導數為正，則圖形向上凹，點為區域性最小值，而如果為負，則圖形向下凹，點為區域性最大值，零表示無凹度，點稱為拐點。

2. 定義一個具有常係數的二階微分方程？

一個微分方程 $\mathrm{y"\:+\:py'\:+\:qy\:=\:f(x)}$，其中 p、q 表示常係數，被稱為具有常係數的二階微分方程。

3. 給出引數函式的二階導數的方程。

$\mathrm{\frac{dy/dx}{dx/dt}}$ 其中因變數為“x”和“y”，而自變數為“t”

4. 函式的二階導數中向上凹和向下凹是什麼？

如果給定函式的二階導數大於零，則稱為向上凹，如果小於零，則稱為向下凹。

5. 什麼是拐點？

此點的二階導數等於零。換句話說，在拐點處既不是向上凹也不是向下凹。