如何使用 Python 和 Matplotlib 計算並繪製函式的導數？

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函式的導數是微積分中使用的關鍵概念之一。它是衡量當我們改變輸出時函式變化多少的指標。

Matplotlib 是 Python 的繪相簿，因為它沒有提供直接計算函式導數的方法，因此您需要使用 NumPy，它也是 Python 庫之一，您可以使用它來計算函式的導數，並使用 Matplotlib 來視覺化結果。

在本文中，我們將使用 NumPy 庫計算函式的導數，並藉助 Python 中的 Matplotlib 對其進行視覺化。

什麼是函式的導數？

導數是函式相對於其輸入變化的速率。它給出函式在任意一點的切線的斜率，還可以用於查詢最大值、最小值、臨界點和拐點。函式 f(x) 的導數定義為差商在 x 的變化接近於零時的極限。解釋它的數學表示式如下：

 f`(x) = lim (h -> 0) [(f(x + h) – f(x)) / h] 

這裡，極限表示函式在 x 處的瞬時變化率。

Python 中的 Matplotlib 是什麼？

Matplotlib 是 Python 最流行的視覺化庫之一。它廣泛用於科學計算領域。它支援各種繪圖型別並提供許多自定義選項，它還可以與 NumPy 和其他科學計算庫整合。

使用 Matplotlib 計算函式的導數

由於 Matplotlib 中沒有直接計算函式導數的方法，我們需要使用公式來計算導數，並使用圖形繪製結果。請按照以下步驟操作 -

步驟 1 – 首先匯入所需的模組，即 matplotlib 和 numpy。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

步驟 2 – 匯入模組後，定義您想要微分的函式。讓我們以 f(x) = x² 為例

Def f(x):
    return x**2

步驟 2 – 現在，定義要繪製函式和導數的 x 值範圍。讓我們取一個 [-4, 4] 的範圍

x = np.linspace(-4, 4, 1000)

步驟 3 – 然後，使用 numpy 的 gradient() 函式，我們可以計算函式的導數。此函式的作用是計算值陣列的數值梯度，它是導數的近似值。

dfdx = np.gradient(f(x), x)

步驟 4 – 為了繪製原始函式及其導數，我們將使用 matplotlib。作為輸出，將建立一個繪圖。

plt.plot(x, f(x), label = ‘f(x)’)
plt.plot(x, dfdx, label = ‘df/dx’)
plt.legend()
plt.show()

示例

在完成所有步驟後，程式碼和輸出將如下所示

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
    return x**2
x = np.linspace(-2, 2, 100)
dfdx = np.gradient(f(x), x)
plt.plot(x, f(x), label='f(x)')
plt.plot(x, dfdx, label='df/dx')
plt.legend()
plt.show()

輸出

示例

在這裡，我們將首先將函式定義為 f(x) = sin(x)，然後使用 NumPy 的 gradient 函式計算其導數。然後，我們將嘗試使用 Matplotlib 的 plot() 函式繪製原始函式 f(x) 和導數 df/dx。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def f(x):
    return np.sin(x)
x = np.linspace(-np.pi, np.pi, 1000)
dfdx = np.gradient(f(x), x)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, f(x), label='f(x)')
ax.plot(x, dfdx, label="df/dx")
ax.legend()
plt.show()

輸出

示例

第一步是使用 numpy 的冪函式定義我們要微分的函式。然後，為了計算一組點上函式的導數，我們將使用 gradient() 函式。

此函式的作用是獲取一個值陣列，然後返回一個具有相同形狀的陣列，其中包含給定值的數值導數。

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
def f(x):
    return np.power(x, 2)
x = np.linspace(0, 4, 100)
y = f(x)
dy = np.gradient(y, x)
plt.plot(x, y, label='f(x)')
plt.plot(x, dy, label="f'(x)")
plt.legend()
plt.show()

輸出

在這裡，在每種情況下，我們首先定義了我們要計算其導數的函式。我們使用 numpy 中的 linspace() 函式建立了 x 軸值，並使用它們來計算導數值。最後，我們使用 plot 函式繪製函式及其導數，並使用 legend 函式向圖形新增圖例。

結論

在本文中，我們使用 python - Matplotlib 計算了函式的導數。我們使用了不同的函式，例如 gradient() 來計算導數，linspace() 來計算值的範圍，以及 plot() 分別來繪製函式及其導數。