使用一階導數檢驗求最大值和最小值

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簡介

通常，各種物理實體都用包含多個變數的數學方程式表示。函式可以在過程中表示變數的性質。可以在變數和所需響應之間以圖形方式呈現函式。但是，大多數情況下，我們需要找到函式給出最大值和最小值的特定點。在這個方向上，發現微積分的基本概念——導數檢驗非常有幫助。在本教程中，我們將學習導數、其在最佳化中的應用以及使用一階和二階導數確定函式的最大值和最小值，並提供已解決的示例。

導數

• 導數是微積分中的一個基本概念。

• 它被定義為一個變數相對於另一個變數的變化率。

• 此外，它也指的是曲線上切線的斜率。

• 確定函式導數的過程稱為微分。

• 導數的逆過程稱為積分或反微分。

• 任意函式 (f(x)) 的微分表示為 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x)\: or\: \frac{d\mathit{f}}{dx}}$。

• 有各種公式可以確定各種代數、三角、對數和指數函式的導數。

導數在最佳化中的應用

導數概念在數學、物理、工程和金融等領域有著廣泛的應用。其中，過程最佳化是工業工程中的一門重要學科，導數在其中發揮著至關重要的作用。讓我們討論一些現實生活中的例子。

• 製造業在財政年度銷售特定單位的產品。為了最大化利潤，必須找到要銷售產品的最佳單位。在這個方向上，導數有助於確定函式的最大值。

• 在流體泵送過程中，始終希望獲得最小的壓降以降低能量成本。

• 需要最佳化材料量以獲得所需的容器尺寸。

尋找函式的最大值和最小值

在數學中，函式的最大值和最小值表示函式在給定範圍內最高（最大）和最低（最小）的值。可以使用一階和二階導數檢驗來確定這兩個極值點。

一階導數檢驗

這是一種簡單的方法，它涉及到臨界點來確定區域性最大值和最小值。讓我們考慮一個任意函式 $\mathrm{\mathit{f}(x)}$，其中 c 是一個臨界點，在該點函式是連續的。現在，我們必須遵循以下步驟來找到函式的最大值和最小值。

• 計算給定函式 $\mathrm{\mathrm{(\mathit{f}(x)}), 即 \mathit{f}^Ι (x) }$ 的一階導數。

• 在第二步中，將函式的導數等於零，即 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x)=0 }$，並求解該方程以獲得極限點。

• 找到獲得的極限點的鄰近點。

• 將這些鄰近點代入一階導數函式，即 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x)}$。

• 如果 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x)>0}$ 位於其左側，而 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x) < 0}$ 位於其右側，則稱極限點為最大值。

• 如果 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x) < 0}$ 位於其左側，而 $\mathrm{\mathit{f}^Ι (x)>0}$ 位於其右側，則稱極限點為最小值。

二階導數檢驗

二階導數檢驗是一種系統的方法，用於找到函式的最大值和最小值。讓我們討論使用二階導數檢驗評估函式的區域性最大值和最小值的過程。

• 計算給定函式 $\mathrm{\mathrm{(\mathit{f}(x)}), 即 \mathit{f}^Ι (x) }$ 的一階導數。

• 在第二步中，將函式的導數等於零，即 $\mathrm{\mathit{f}^{Ι} (x) = 0}$，並求解該方程以獲得極限點，例如 x₁、x₂ 等。

• 現在，確定原始函式 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ} (x)}$ 的二階導數。

• 現在將這些極限點代入 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ} (x)}$。

• 如果 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ} (x) < 0}$，則稱極限點 x_1 為區域性最大值。

• 如果 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ} (x) > 0}$，則稱極限點 x_1 為區域性最小值。

已解決的示例

示例 1

讓我們考慮一個函式 f(x)=x³-3x+2。使用一階導數檢驗求函式的最大值和最小值。

解決方案

我們將使用以下步驟來找到函式的最大值和最小值。

• 步驟 1：已知 f(x)=x³-3x+2。

  則 f^Ι(x)=3x²-3。

• 取 f^Ι(x)=0

  $\mathrm{\Rightarrow 3x^2-3=0}$

  $\mathrm{\Rightarrow 3(x^2-1)=0}$

  $\mathrm{\Rightarrow 3(x+1)(x-1)=0}$

  ⇒x=-1,1 （極限點）

• (-1,1) 的鄰近點是 (-2, 0) 和 (0, 2)。

• $\mathrm{\mathit{f}^Ι (-2)=3(-2)^2-3=9,\mathit{f}^Ι (0)=3(0)^2-3=-3}$

• 極限點 (-2, 0) 被稱為區域性最大值，因為如果 $\mathrm{\mathit{f}^{Ι} (x) < 0}$ 位於其左側，而 $\mathrm{\mathit{f}^{Ι} (x) > 0}$ 位於其右側。

• $\mathrm{\mathit{f}^Ι (0)=3(0)^2-3=-3,\mathit{f}^Ι (2)=3(2)^2-3=9}$

• 極限點 (0, 2) 被稱為最小值，因為 $\mathrm{\mathit{f}^{Ι} (x) < 0}$ 位於其左側，而 $\mathrm{\mathit{f}^{Ι} (x) > 0}$ 位於其右側。

∴ 函式的區域性最大值和最小值分別為 (-1) 和 (1)。

示例 2

讓我們考慮一個函式 f(x)=5x³+4x²+x+7。使用二階導數檢驗求函式的最大值和最小值。

解決方案

我們將使用以下步驟來找到函式的最大值和最小值。

• 步驟 1 − 已知 f(x)=5x³+4x²+x+7。

  $\mathrm{Then \: \mathit{f}^Ι (x)=15x^2+8x+1.}$

• $$\mathrm{Take\: \mathit{f}^Ι(x)=15x^2+8x+1=0 }$

$\mathrm{\Rightarrow 15x^2+5x+3x+1=0}$

$\mathrm{\Rightarrow 5x(3x+1)+1(3x+1)=0}$

$\mathrm{\Rightarrow (3x+1)(5x+1)=0}$

$\mathrm{\Rightarrow x=\frac{-1}{3},\frac{-1}{5} (極限點)}$$

• $$\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ} (x)=30x+8.}$

• 現在我們將把極限點代入 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ}(x)}$。

• $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ}(\frac{-1}{3})=30(\frac{-1}{3})+8=-2 < 0}$

  極限點 $\mathrm{\frac{-1}{3}}$ 被稱為區域性最大值，因為 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ}(\frac{-1}{3})< 0}$

• $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ}(\frac{-1}{5})=30(\frac{-1}{5})+8=2 < 0}$

  極限點 $\mathrm{\frac{-1}{5}}$ 被稱為區域性最小值，因為 $\mathrm{\mathit{f}^{ΙΙ}(\frac{-1}{5})> 0}$

∴ 函式的區域性最大值和最小值分別為 $\mathrm{(\frac{-1}{3})}$ 和 $\mathrm{(\frac{-1}{5})}$。

結論

本教程簡要介紹了函式的最大值和最小值。本教程說明了區域性極值點（最大值和最小值）和導數的基本定義。此外，還說明了使用一階導數和二階導數檢驗確定最大值和最小值的過程。此外，還提供了一些已解決的示例，以更好地闡明此概念。總之，本教程可能有助於理解最大值和最小值的概念以及使用一階和二階導數檢驗對其進行評估。

常見問題解答

1.舉一個沒有最小值和最大值的函式的例子？

實數集沒有最大值和最小值。

2.哪種方法更有效地確定函式的最小值和最大值？

一階導數檢驗是尋找函式的最小值和最大值的有效方法。因為如果函式不存在二階導數，則二階導數檢驗將失敗。在這種情況下，我們只需要使用一階導數檢驗來評估極值點。

3.為什麼一階導數檢驗會失敗？

如果獲得的極限點不是區域性最大值或最小值，則一階導數檢驗將失敗。

4.導數有哪些應用？

導數概念有助於找到圖形的凹凸性、拐點、區域性最大值和最小值。

5.如何定義臨界點？

如果點 (c) 是函式 $\mathrm{\mathit{f}(x)\mathit{f}^Ι(c)=0\: or \: \mathit{f}^Ι(x)}$ 的臨界點，則該點不存在。