泊松比

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引言

泊松比是一個非常重要的材料屬性，它能告訴我們各種材料在充滿的情況下如何變形。讓我們以橡皮筋為例。如果你拉伸一根橡皮筋，它的長度會增加，但同時你會看到中間部分會變細。因此，泊松比可以告訴我們橡皮筋會變細多少。

從上圖可以看出，L是橡皮筋的原始長度，但在拉伸或施加力後，長度變為L+ΔL，寬度W變為W+ΔW。因此，橡皮筋的厚度變薄了。

什麼是泊松比？

泊松比以著名的法國數學家西莫恩·丹尼斯·泊松的名字命名，他於1827年正式解釋了這個重要比率。

現在取一個長方體，如果我們對其施加壓縮力，它會在垂直於施力方向的方向上膨脹。我們可以定義泊松比，如下面的圖表所示：

$$\mathrm{ \varepsilon =\frac{橫向應變}{縱向應變}}$$

Cdang, Traction compression deformation sans poisson, CC BY-SA 3.0

我們可以將施力方向稱為縱向或x軸方向（位於x軸上），並將垂直方向稱為橫向方向（位於y軸上）。現在，如果我們反轉力的方向以施加拉伸載荷，長方體將在縱向（y軸上）伸長，並在橫向（y軸上）收縮。這裡的主要概念是，當你在一個方向上對材料施載入荷時，材料會在橫向變形。

幾何變化的泊松比

為了更精確地定義泊松比，讓我們仔細看看給定的圖形，其中施加了拉伸力。首先，我們為這裡涉及的各種引數命名。設長度Lx、Ly和Lz為我們沿x、y和z軸取的長方體形狀的初始尺寸。現在，$\mathrm{\Delta L_x,\:\Delta L_y \:and\:\Delta L_z }$是施載入荷後這些尺寸發生的改變。此外，尺寸變化發生在物體的兩側。

現在所有三個方向的應變可以寫成：

$$\mathrm{\varepsilon_x=-\frac{\Delta L_x}{L_x}\varepsilon_y=-\frac{\Delta L_y}{L_y}\varepsilon_z =-\frac{\Delta L_z}{L_z}}$$

$$\mathrm{其中\:\:\varepsilon=\frac{長度變化}{原始長度}}$$

眾所周知：

$$\mathrm{泊松比,ν=\frac {橫向應變或橫向應變 }{縱向應變或軸嚮應變}}$$

$$\mathrm{泊松比,ν=\frac{-ε_{橫向}}{ε_{縱向}}}$$

這裡的負號是因為按照慣例，拉伸應變為正，壓縮應變為負。因為那裡的符號是負的，這意味著由於橫向應變，它的符號與縱向應變相反，這樣我們就能得到增加的泊松比。

PAR, PoissonRatio, 標記為公共領域，更多詳情請訪問維基共享資源

應用

• 當管道內的液體承受極高的壓力時，它會在管道內部施加力。這導致管道材料產生應力。由於泊松效應，這種應力導致管道長度增加，而長度略微減小。這會特別影響管道的接頭。結果，它會在串聯連線的管道每一部分處組裝。

• 由於施加的力或應力，地殼中的岩石在垂直方向上膨脹或收縮，從而在x軸上變形，從而導致泊松比。

• 軟木的泊松比為0。因此，它具有優勢。當軟木塞放在瓶子裡時，瓶子的上部不會在長度上膨脹，因為它承受壓縮。如果瓶塞是由橡膠材料製成的，那麼克服上部膨脹所需的額外力會很大，因為那裡有橡膠瓶塞。

結論

我們提到的方程式和概念僅適用於各向同性材料，即在所有方向上具有相同屬性的材料。對於穩定、各向同性和線性的彈性材料，泊松比必須在-1.0和+0.5之間。但除此之外，泊松比的值是正常的，它介於0.0和0.5之間。

下表顯示了一些常見物質的泊松比：

材料	泊松比
銅	0.33
混凝土	0.2
橡膠	0.49

材料	泊松比
軟木	0
玻璃	0.18 - 0.3
黃金	0.43
石灰石	0.2 - 0.3

常見問題

1. 金屬鋼的泊松比是多少？

通常情況下，金屬鋼的泊松比在0.27到0.30之間。

2. 一根金屬絲的縱向應變為0.25，泊松比為0.5。計算該金屬絲產生的橫向應變。

$$\mathrm{已知：金屬絲縱向方向的應變,\: \varepsilon_{縱向} = 0.25}$$

給定金屬絲的泊松比 = 0.5

正如我們對泊松比所知：

$$\mathrm{ ν= \frac{橫向應變 }{縱向應變}\:or\:ν=\frac{\varepsilon_{橫向}}{\varepsilon_{縱向}} }$$

$$\mathrm{0.5=\frac{-橫向應變}{0.25} }$$

$$\mathrm{橫向應變\: = 0.125}$$

因此，金屬絲的橫向應變為0.125。

3. 對於金屬，泊松比的最大值和最小值是多少？

金屬的泊松比標準介於0到0.5之間。該值為正，原因是如果我們在縱向施加力（即縱向應變），則對於這些材料，橫向方向的應變將減小。

4. 泊松比的值可能大於1嗎？

是的。在某個方向上，各向異性材料的泊松比會大於1。

5. 一根長度為50毫米，寬度為25毫米的鋼條。施加25N的力後，鋼條長度顯著增加到52毫米。計算寬度的變化。

已知：鋼條長度，L - 50毫米

鋼條寬度，W - 25毫米。

$$\mathrm{寬度的變化寫成\:\Delta W.}$$

眾所周知，鋼的泊松比等於0.3。

縱向應變：

$$\mathrm{\varepsilon_{縱向}=\frac {\Delta L_x}{L_x}=\frac{52-50}{50}=0.04 }$$

眾所周知：

$$\mathrm{ ν=\frac{橫向應變 }{縱向應變 }}$$

$$\mathrm{0.3=\frac{\frac{dW}{25}}{0.04}}$$

$$\mathrm{dW=0.012×0.04×25}$$

$$\mathrm{dW=0.3 mm}$$

因此，鋼條的寬度將減少0.3毫米。

6. 一根長度為5米的金屬絲被拉伸了0.5釐米。計算金屬絲中產生的橫向應變。（金屬絲的泊松比，ν = 0.26）

已知：長度，L = 5米

$$\mathrm{長度變化,\Delta L=0.5 cm=5×10^{-3} m}$$

縱向應變：

$$\mathrm{泊松比=\frac{橫向應變 }{縱向應變}}$$

$$\mathrm{橫向應變=縱向應變×泊松比}$$

$$\mathrm{橫向應變=10^{-3}×0.26}$$

$$\mathrm{橫向應變=2.6×10^{-4}}$$