泊松分佈

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簡介

泊松分佈常用於理解在預定時間段內連續發生的各種事件。泊松分佈是一個離散函式，因此變數只能取自一個（可能是無限的）數字列表。泊松分佈用於數學中的機率和統計概念。它是一個離散機率分佈，用於機率論和統計學，以表達在給定時間段內發生給定數量事件的可能性，而不管自上次結果以來經過了多少時間。

定義

• 離散泊松分佈確定了在特定時間段內發生特定數量事件的機率。

• 金融專業人士可以使用泊松分佈來模擬新的買入或賣出訂單進入市場，以及預期訂單到達特定交易場所或暗池的情況。

• 在這些情況下，泊松分佈預測了預期訂單到達率周圍的置信區間。

• 在演算法交易和智慧訂單路由器中，泊松分佈特別有用。

公式

泊松分佈公式用於計算事件在特定時間段內獨立、離散地發生的可能性，其中平均發生率隨時間保持恆定。當存在許多潛在結果時，使用泊松分佈公式。假設 X 是一個具有泊松分佈的離散隨機變數，並且是值的平均速率，則 X 的機率表示如下。

$$\mathrm{f(x)\:=\:P(X\:=\:x)\:=\:\frac{e^{-\lambda\:}\:\lambda\:^{x}}{x!}}$$

其中

$$\mathrm{x\:=\:0\:,\:1\:,\:2\:,\:3\:.....}$$

𝑒 是尤拉數

𝜆 是預期值的平均速率，並且 $\mathrm{\lambda\:=\:方差\:,\:\lambda\:>\:0}$

表格

下表顯示了平均值為 𝜆 的泊松隨機變數 𝑋 小於或等於 𝑥 的機率。因此，該表提供了

𝜆 =	0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
𝑥 = 0	0.904 8	0.818 7	0.740 8	0.670 3	0.606 5	0.548 8	0.496 6	0.449 3	0.406 6	0.367 9
1	0.995 3	0.982 5	0.963 1	0.938 4	0.909 8	0.878 1	0.844 2	0.808 8	0.772 5	0.735 8
2	0.999 8	0.998 9	0.996 4	0.992 1	0.985 6	0.976 9	0.965 9	0.952 6	0.937 1	0.919 7
3	1.000 0	0.999 9	0.999 7	0.999 2	0.998 2	0.996 6	0.994 2	0.990 9	0.986 5	0.981 0
4	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.999 9	0.999 8	0.999 6	0.999 2	0.998 6	0.997 7	0.996 3
5	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.999 9	0.999 8	0.999 7	0.999 4
6	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	0.999 9
7	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0
8	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0
9	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0	1.000 0

均值和方差

考慮一個泊松實驗，其中在範圍內成功的平均次數被選為 𝜆。在泊松分佈中，𝑒 是常數，大約等於 2.71828，表示分佈的均值。以下是泊松機率 -

$$\mathrm{P(X\:,\:\lambda)\:=\:\frac{e^{-\lambda\:}\:\lambda\:^{x}}{x!}}$$

泊松分佈的均值由方程 $\mathrm{E(x)\:=\:\lambda}$ 表示。泊松分佈的均值和方差相同。因此，$\mathrm{E(x)\:=\:V(x)\:.\:Where\:,\:the\:variance\:is\:V(x)}$

泊松分佈期望值

如果將 𝜆 視為分佈的期望值，則稱隨機變數具有引數 𝜆 的泊松分佈。泊松分佈的期望值表示如下 -

$\mathrm{E(x)\:=\:\mu\:=\:\frac{d(e^{\lambda\:(t\:-\:1)})}{dt}\:,\:at\:t\:=\:1}$

$$\mathrm{E(x)\:=\lambda}$$

因此，泊松分佈的期望值（均值）和方差都等於 $\mathrm{\lambda}$

示例

1. 一家汽車拖車公司平均每天（每 24 小時）接到 30 個電話。在確定每小時的平均電話次數後，找出在隨機選擇的時段內將會有三個電話的可能性。

解決方案 -

已知汽車拖車公司平均每天（每 24 小時）接到 30 個電話。

因此，汽車拖車服務通常在給定的時間內接到 $\mathrm{\frac{30}{24}\:=\:1.25}$ 個電話。

可以使用泊松分佈確定在特定時間範圍內最有可能發生的事件例項數。

因此，X 服從均值為 1.25 的泊松分佈。

在隨機選擇的時段內將會有兩個電話的可能性如下 -

$$\mathrm{P(x\:=\:3)\:=\frac{e^{-1.25(1.25)^{3}}}{3!}\:=\:\frac{1.953125}{6\:\times\:3.490}\:=\:\frac{1.953125}{20.94}\:=\:0.09327\:=\:0.09}$$

隨機變數 𝑋 服從引數為 𝜆 的泊松分佈，使得 $\mathrm{P(X\:=\:3)\:=\:0.1P(X\:=\:4)}$ 找到 $\mathrm{P(X\:=\:1)}$

解決方案 -

我們知道 $\mathrm{P(X\:=\:x)\:=\:\frac{e^{\lambda}\lambda^{x}}{x!}}$

$$\mathrm{P(X\:=\:3)\:=\:0.1P(X\:=\:4)}$$

$$\mathrm{\frac{e^{-\lambda}\lambda^{3}}{3!}\:=\:0.1\:\times\:\frac{e^{-\lambda}\lambda^{4}}{4!}}$$

$$\mathrm{4\:=\:0.1\:\times\:\lambda}$$

$$\mathrm{\lambda\:=\:40}$$

$$\mathrm{P(X\:=\:1)\:=\:\frac{e^{-40}40^{2}}{0!}\:=\:1600e^{-40}}$$

常見問題

1. 使用泊松分佈時，考慮哪種型別的資料？

法國數學家西美翁·丹尼斯·泊松以他的名字命名了泊松分佈，以描述在“X”時間段內事件發生的頻率。當感興趣的變數是離散計數變數時，使用泊松分佈。

2. 泊松是離散的還是連續的？

稱為泊松分佈的離散分佈計算了在特定時間範圍內發生一定數量事件的可能性。

3. 什麼是泊松 λ？

在泊松分佈公式中，希臘字母 λ 表示特定時間段或空間內事件的平均數量。

4. 泊松分佈可能是正偏態還是負偏態？

但是，對於較小的均值和較高的均值的對稱性，泊松分佈和負二項分佈都是正偏態的。您的資料是負偏態且均值較高。

5. 泊松分佈：它是正確偏態的嗎？

泊松分佈始終向右偏斜，因為它是不對稱的。考慮到它在左側受到零出現障礙的限制（不存在“負一”拍），而在另一側不受限制。隨著它的增長，圖形看起來更像正態分佈

6. 泊松分佈與高斯分佈有什麼區別？

由於其離散結構，泊松分佈取 0、1、2、3 等的值，但高斯函式在所有可能的值中連續變化，甚至如果均值較小則小於零的值。