連續電荷分佈

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引言：電荷分佈

讓我們取一根非常輕的杆AB（如圖1所示），其質量可以忽略不計，並在其上懸掛三個質量均為‘m’的物體。因此，杆的總質量將為‘3m’。但杆的各個部分的質量並不均勻，有些部分的質量較大，例如CD，而有些部分的質量較小，例如EF。

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圖1

這是因為質量只集中在某些部分，這種情況稱為離散質量分佈。類似地，如果我們取一根杆PQ（如圖2所示），其質量在整個杆PQ上均勻分佈。現在，無論我們取RS部分還是TU部分，對於相同的長度，質量都保持不變，這種情況稱為連續質量分佈。

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圖2

類似地，如果我們將帶電粒子放在質量的位置，那麼同樣也會有兩種型別的分佈：

• 離散電荷分佈

• 連續電荷分佈

在離散電荷分佈的情況下，電荷彼此之間保持一定的距離。因此，所有電荷的特性都可以被單獨識別。例如，如果有q1、q2、q3……一直到qn的電荷，那麼可以使用簡單的代數來計算總電荷。此外，我們可以找到每個電荷產生的電場，並藉助疊加原理計算總電場。

但在連續電荷分佈的情況下，電荷以這樣的方式排列，即電荷沿導體均勻分佈，並且所有電荷都緊密排列。

連續電荷分佈的型別

連續電荷分佈有三種類型：

• 線性電荷分佈

• 面電荷分佈

• 體電荷分佈

讓我們逐一討論所有型別的連續電荷分佈。

線性電荷分佈

如果電荷沿導體的長度（即沿直線）均勻分佈，則稱為線性電荷分佈。例如，沿細直線的電荷分佈或沿圓形導線圓周的電荷分佈。它用線性電荷密度表示，符號為‘$\mathrm{\lambda}$’，讀作蘭姆達，可以定義為單位長度上的電荷。它可以寫成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:\lambda\:=\:\frac{dq}{dl}}$$

其中，dq是沿小長度dl分佈的電荷量。因此，長度‘dl’上的電荷將為：

$$\mathrm{dq \:=\: \lambda.dl}$$

因此，如果我們想要計算沿直線的總電荷‘q’，則它將是線性電荷密度和無限小長度的乘積的積分，可以寫成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:q\:=\:\int\:\:\:dq\:=\:\int\:\:\:\lambda. dl}$$

線性電荷密度的單位為$\mathrm{Cm^{-1}}$。圖3將顯示線性電荷分佈的兩種情況，第一種是直線上線的線性電荷分佈，第二種是圓形導線圓周上的線性電荷分佈：

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圖3

面電荷分佈

如果電荷在任何物體的表面上均勻分佈，則稱為面電荷分佈。此處，表面將表示覆蓋的面積。例如，電荷均勻分佈在薄板上。它用線性電荷密度表示，符號為‘$\mathrm{\sigma}$’，讀作西格瑪。因此，面電荷密度可以寫成單位面積上的總電荷。它可以寫成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:\sigma\:=\:\frac{dq}{dA}}$$

其中，dq是均勻分佈在小面積dA上的電荷。因此，dq電荷可以寫成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:dq\:=\:\sigma.dA}$$

因此，如果我們想要計算均勻分佈在表面上的總電荷，則它將是面電荷密度和小面積的乘積的積分。它可以寫成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:q\:=\:\int\:dq\:=\:\int\:\sigma.dA}$$

$\mathrm{\sigma}$的單位為$\mathrm{C.m^{-2}}$

圖4將顯示面電荷分佈的示例：

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圖4

體電荷分佈

如果電荷在任何物體的體積內均勻分佈，則稱為體電荷分佈。例如，電荷在實心圓柱體或實心球體中均勻分佈。它用線性電荷密度表示，符號為‘$\mathrm{\rho}$’，讀作羅。因此，體電荷密度可以寫成單位體積上的總電荷。它可以寫成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:\rho\:=\:\frac{dq}{dV}}$$

其中，dq是均勻分佈在小體積dV中的電荷。因此，dq電荷可以寫成：

$$\mathrm{dq\:=\:\rho.dV}$$

因此，如果我們想要計算均勻分佈在體積內的總電荷，則它將是體電荷密度和小體積的乘積的積分。它可以寫成：

$$\mathrm{\Rightarrow\:q\:=\:\int\:dq\:=\:\int\:\rho.dV}$$

$\mathrm{\rho}$的單位為$\mathrm{C.m^{-3}}$。圖5將顯示體電荷分佈的示例：

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圖5

連續電荷分佈產生的力

讓我們瞭解如何計算電荷分佈對任何其他電荷施加的力。在這裡，我們取一個點電荷作為計算力的參考。讓我們從線性電荷分佈開始：

線性電荷分佈產生的力

假設有一根細線，其線性電荷密度為‘$\mathrm{\lambda}$’。讓我們取一根小長度的線‘dl’，並帶有電荷‘dq’。讓我們取一個距離為‘r’的點電荷qo。然後根據庫侖定律：

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圖6

$$\mathrm{d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.dq}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

如果我們寫$\mathrm{dq = \lambda.dl}$，那麼我們可以寫出上述方程：

$$\mathrm{\Rightarrow\:d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.\lambda.dl}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

面電荷分佈產生的力

假設有一張薄片，其面電荷密度為‘$\mathrm{\sigma}$’。讓我們取一個小面積‘dS’，並帶有電荷‘dq’。讓我們取一個距離為‘r’的點電荷qo。然後根據庫侖定律：

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圖7

$$\mathrm{d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.dq}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

如果我們寫$\mathrm{dq = \sigma.dA}$，那麼我們可以寫出上述方程：

$$\mathrm{\Rightarrow\:d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.\sigma.ds}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

體電荷分佈產生的力

假設有一個體積為‘V’、體電荷密度為‘$\mathrm{\rho}$’的物體。讓我們取一個小面積‘dV’，並帶有電荷‘dq’。讓我們取一個距離為‘r’的點電荷qo。然後根據庫侖定律：

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圖8

$$\mathrm{d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.dq}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

如果我們寫$\mathrm{dq = \rho.dV}$，那麼我們可以寫出上述方程：

$$\mathrm{\Rightarrow\:d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.\rho.dV}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$

常見問題解答

Q1. 連續電荷分佈是什麼意思？

答 - 連續電荷分佈意味著電荷在物體上均勻分佈。在這種情況下，單位體積或面積或長度上的電荷量將保持不變。

Q2. 線性電荷分佈是什麼意思？

答 - 如果電荷線上性上或物體長度上均勻分佈，則稱為線性電荷分佈。

Q3. 什麼是面電荷分佈？

答 - 如果電荷分佈在物體的表面或面積上，則稱為面電荷分佈。

Q4. 什麼是體電荷分佈？

答 - 如果電荷分佈在物體的體積內，則稱為體電荷分佈。

Q5. 在真空中，一根具有線性電荷密度‘$\mathrm{\lambda}$’、小長度‘dl’的導線對距離為‘r’的點電荷 (qo) 施加的微分力的方程式是什麼？

答 - 真空中，一根具有線性電荷密度‘$\mathrm{\lambda}$’的小長度 (dl) 的導線對$\mathrm{q_o}$施加的力將為：

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$$\mathrm{d\overrightarrow{F}\:=\:\frac{q_0.\lambda.dl}{4\pi \epsilon_0}.\frac{1}{r^2}.\hat{r}}$$