連續變數

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介紹

連續變數是指在任意兩個數值之間存在無限多個值的變數。統計學中的變數可以是定量變數，它定義測量的數量。定量測量可以進一步細分為連續變數和離散變數。此類變數廣泛用於統計研究和工具。在本教程中，我們將學習變數及其型別、連續性以及連續變數，並附帶一些已解決的示例。

變數

在統計學中，變數可以定義為代表未知值的一個術語，該值不是固定的，並且以數字形式表示。因此，變數可用於輕鬆計算大量資料。各種變數用於不同的領域。變數可以分為兩種型別：連續變數和離散變數。變數還可以分為其他幾種型別，例如定量變數、定性變數、因變數和自變數等等。

連續性

在自然界中，到處都可以看到連續性。例如，河流的流動、時間等等都是自然界中連續性的一些現例項子。在統計學中，我們也有具有數值的函式的連續性。在圖形上，連續函式對應於連續的圖形。在代數上，只有當函式 f(a) 滿足以下條件時，才能在點 a=x 處稱為連續的

• f(x) 存在（這意味著 f(x) 的值是有限的。）

• $\mathrm{\lim_{a \rightarrow x}f(a)}$ 存在（即，極限的兩側相等，並且兩者都是有限的）

• $\mathrm{\lim_{a \rightarrow x}f(a)\:=\:f(x)}$

如果上述三個條件在區間中的每個點都滿足，則函式 f(a) 被稱為連續函式。

連續變數

連續變數可以定義為具有數值的變數，這些數值是透過測量獲得的。連續變數可以具有分數或小數值的增量值。連續變數可以取任何可以細分為增量的數值。此類變數在一個範圍內可以具有無限多個值。如果一個變數在一個值周圍是離散的，並且該變數在任一側都不是無限的，則該變數稱為離散變數。連續變數通常用於測量長度、質量或溫度等尺度。

連續變數可用於計算各種統計運算，例如平均值、眾數、中位數等。連續變數在兩個數值之間具有無限多個值。在涉及連續變數的問題中，使用各種微積分工具。在連續最佳化問題中，其中變數也是連續的，使用不同的微積分技術。連續變數有兩種型別，即瞬時變數和比率變數。

下表顯示了兩種型別的變數（即離散變數和連續變數）之間的區別。

離散變數	連續變數
離散變數的值可以透過計數來確定。	連續變數的值不能透過測量來確定。
示例： 一週的天數 辦公室的員工人數	示例： 世界上的樹木數量 城市溫度
屬於有限的特定範圍。	屬於無限的特定範圍。
可以用來假設一個特定的或不同的值	可以用來假設範圍內任何值。

已解決的示例

1)以下是變數的兩個案例。確定每種情況下變數的型別並解釋原因？

案例 1 - 北極熊的長度

案例 2 - 北極熊的年齡

答案：

案例 1 - 我們知道長度是一個連續變數。因為無法精確測量北極熊的長度。每次測量都不能精確定義熊的長度。這就是為什麼長度是一個連續變數的原因。

案例 2 - 在某些情況下，年齡可以被認為是連續變數，而在某些情況下則被認為是離散變數。因為年齡隨時間不斷增加，我們無法完全定義它，因此我們將年齡視為連續變數。年齡通常以年來定義，在這種情況下，年齡被認為是離散變數。

2)對於函式 f(a) =

$\mathrm{5\:-\:2a\:for\:a<1}$

$\mathrm{3\:for\:a\:=\:1}$

$\mathrm{a\:+\:2\:for\:a>1}$

證明該函式對於所有 a 值都是連續的？

答案 - 由於該函式是線性的，因此該函式在圖上是一條直線，這意味著該函式對於所有 a≠1 都是連續的。現在對於 a = 1，我們必須檢查條件。

左極限 -

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{-}}\:f(a)}$

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{-}}\:f(5\:-\:2a)}$

$\mathrm{=\:5\:-\:2\times\:1}$

$\mathrm{=\:3}$

右極限 -

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{+}}\:f(a)}$

$\mathrm{=\:\lim_{a \rightarrow 1^{+}}\:f(a\:+\:2)}$

$\mathrm{=\:1\:+\:2}$

$\mathrm{=\:3}$

在值 a=1 處

𝑓(1) = 3

由於所有條件都滿足，我們可以說給定函式對於所有 a 都是連續的。

3)檢視下面給出的場景，並確定其中哪個是連續的

• 寵物數量

• 人的年齡

• 城市溫度

• 拋硬幣的結果

從上面給出的場景中，城市溫度是連續變數，因為溫度可以進一步細分為更小的單位。人的年齡被認為是離散的和連續的。在所有其他場景中，變數都不能細分為更小的單位。

結論

變數可以定義為代表未知值的一個術語，該值不是固定的，並且以數字形式表示。變數可以分為兩種型別：連續變數和離散變數。在自然界中，到處都可以看到連續性。例如，河流的流動、時間等等都是自然界中連續性的一些現例項子。連續變數可以定義為具有數值的變數，這些數值是透過測量獲得的。

連續變數可用於計算各種統計運算，例如平均值、眾數、中位數等。連續變數有兩種型別，即瞬時變數和比率變數。如果一個變數在一個值周圍是離散的，並且該變數在任一側都不是無限的，則該變數稱為離散變數。例如，一個月的天數、教室裡的電腦數量。

常見問題

1. 性別可以是連續變數嗎？

不可以，性別不能被認為是連續變數，因為它是不變的。它是一個離散變數。

2. 什麼是瞬時變數？

瞬時變數是指具有靜態值的變數。例如，德里冬季的溫度。

3. 除連續變數和離散變數外，還有哪些其他兩種重要的變數型別？

另外兩種型別的變數是因變數和自變數。

4. 什麼是定量變數？

表示一定數量值的變數稱為定量變數。定量變數有兩種型別：連續變數和離散變數。

5. 我們周圍連續性的現例項子有哪些？

連續性的一些現例項子包括：

• 我們大氣中空氣的流動是連續的，因為它永不停歇。

• 人和動物或任何生物的年齡都在不斷增加。

• 我們身體毛髮的生長是一個持續的過程。