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法學一個三角形的邊長分別為 35 釐米、54 釐米和 61 釐米。其最長高線有多長？
已知
三角形的邊長分別為 35 釐米、54 釐米和 61 釐米。
求解
我們需要求出最長高線的長度。
解答
設 a = 35 釐米，b = 54 釐米，c = 61 釐米，h 為三角形的最長高線。
我們知道：
邊長分別為 a、b 和 c 的三角形的半周長 = $\frac{a+b+c}{2}$
三角形的面積 = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
已知三角形的半周長 = $\frac{35+54+61}{2}$ 釐米 = $\frac{150}{2}$ 釐米 = 75 釐米。
已知三角形的面積 = $\sqrt{75(75-35)(75-54)(75-61)}$ 平方釐米
= $\sqrt{75\times 40\times 21\times 14}$ 平方釐米
= $\sqrt{75\times 40\times 21\times 14}$ 平方釐米
= $\sqrt{5\times 3\times 5\times 5\times 8\times 7\times 3\times 7\times 2}$ 平方釐米
= $\sqrt{5\times 3\times 3\times 5\times 5\times 7\times 7\times 16}$ 平方釐米
= $3\times 4\times 5\times 7\sqrt{5}$ 平方釐米
= $420\sqrt{5}$ 平方釐米。
我們也知道：
三角形的面積 = $\frac{1}{2}\times b\times h$
最長高線在最短邊上。
因此：
$\frac{1}{2}\times b\times h$ = $420\sqrt{5}$ 平方釐米
$ \begin{array}{l} \frac{1}{2} \times 35\times h=420\sqrt{5} \text{ 平方釐米} \\ h=\frac{420\sqrt{5} \times 2}{35} \\ h=12\sqrt{5} \times 2 \\ h=24\sqrt{5} \text{ 釐米} \end{array}$
三角形的最長高線長度為 $24\sqrt{5}$ 釐米。
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