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法律研究一個直角三角形的斜邊長為 $3\sqrt{10}$ 釐米。如果較短的直角邊擴大三倍，較長的直角邊擴大兩倍，新的斜邊將變為 $9\sqrt5$ 釐米。求這個三角形的兩條直角邊的長度。
已知條件
一個直角三角形的斜邊長為 $3\sqrt{10}$ 釐米。
當較短的直角邊擴大三倍，較長的直角邊擴大兩倍時，新的斜邊將變為 $9\sqrt5$ 釐米。
要求
我們需要找到這個三角形的兩條直角邊的長度。
解答
設較短的直角邊長為 $x$ 釐米，較長的直角邊長為 $y$ 釐米。
較短的直角邊擴大三倍後長度為 $3x$ 釐米。
較長的直角邊擴大兩倍後長度為 $2y$ 釐米。
我們知道：
在直角三角形中，斜邊的平方等於兩條直角邊的平方和。（勾股定理）
因此，
$x^2+y^2=(3\sqrt{10})^2$
$x^2+y^2=9(10)$
$x^2+y^2=90$----(1)
同時，
$(3x)^2+(2y)^2=(9\sqrt5)^2$
$9x^2+4y^2=81(5)$
$9x^2+4y^2=405$
$9x^2+4(90-x^2)=405$ (根據方程式 1)
$9x^2+360-4x^2=405$
$5x^2=405-360$
$5x^2=45$
$x^2=9$
$x=\sqrt9$
$x=3$ 或 $x=-3$
長度不能為負數。因此，$x$ 的值為 $3$。
$x^2=(3)^2=9\ cm^2$
$9+y^2=90$
$y^2=90-9$
$y^2=81$
$y=\sqrt{81}$
$y=9$
這個三角形的兩條直角邊的長度分別為 $3$ 釐米和 $9$ 釐米。
更新於： 2022 年 10 月 10 日
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