球體的直徑減少了\( 25 \% \)。它的曲面面積減少了百分之幾？

已知

球體的直徑減少了\( 25 \% \)。

要求

我們必須找到曲面面積減少的百分比。

解答

設 $d$ 為球體的初始直徑。

這意味著：

球體的初始半徑 $r=\frac{d}{2}$

球體的初始表面積 $=4 \pi(\frac{d}{2})^{2}$

$=4\times \pi \times \frac{d^{2}}{4}$

$=\pi d^2$

直徑減少 $25\%$ 後，新的直徑為 $d_{1}=d-\frac{25 d}{100}$

$=\frac{75}{100} \times d$

$=\frac{3 d}{4}$

新球體的表面積 $=4 \pi(\frac{d_{1}}{2})^{2}$

$=4 \pi(\frac{1}{2} \times \frac{3 d}{4})^{2}$

$=4 \pi \frac{9 d^{2}}{64}$

$=\frac{\pi d^{2} 9}{16}$

球體表面積的減少量 $=\pi d^{2}(1-\frac{9}{16})$

$=\pi d^{2}(\frac{7}{16})$

因此：

曲面面積減少的百分比 $=\frac{\pi d^{2}(\frac{7}{16})}{\pi d^{2}} \times 100 \%$

$=\frac{700}{16} \%$

$=43.75 \%$

曲面面積減少了 $43.75 \%$。

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更新於：2022年10月10日

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