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法律研究證明以下恆等式：如果\( T_{n}=\sin ^{n} \theta+\cos ^{n} \theta \)，證明\( \frac{T_{3}-T_{5}}{T_{1}}=\frac{T_{5}-T_{7}}{T_{3}} \)
已知
\( T_{n}=\sin ^{n} \theta+\cos ^{n} \theta \)
需要做
我們需要證明\( \frac{T_{3}-T_{5}}{T_{1}}=\frac{T_{5}-T_{7}}{T_{3}} \)。
解答
我們知道，
$\sin^2 A+\cos^2 A=1$
$\operatorname{cosec}^2 A-\cot^2 A=1$
$\sec^2 A-\tan^2 A=1$
$\cot A=\frac{\cos A}{\sin A}$
$\tan A=\frac{\sin A}{\cos A}$
$\operatorname{cosec} A=\frac{1}{\sin A}$
$\sec A=\frac{1}{\cos A}$
因此，
讓我們考慮 LHS，
$\frac{\mathrm{T}_{3}-\mathrm{T}_{5}}{\mathrm{~T}_{1}}=\frac{\left(\sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta\right)-\left(\sin ^{5} \theta+\cos ^{5} \theta\right)}{\sin \theta+\cos \theta}$
$=\frac{\sin ^{3} \theta\left(1-\sin ^{2} \theta\right)+\cos ^{3} \theta\left(1-\cos ^{2} \theta\right)}{\sin \theta+\cos \theta}$
$=\frac{\sin ^{3} \theta\cos ^{2} \theta+\cos ^{3} \theta\sin ^{2} \theta}{\sin \theta+\cos \theta}$
$=\frac{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta(\sin \theta+\cos \theta)}{\sin \theta+\cos \theta}$
$=\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta$
讓我們考慮 RHS，
$\frac{T_{5}-T_{7}}{T_{3}}=\frac{\left(\sin ^{5} \theta+\cos ^{5} \theta\right)-\left(\sin ^{7} \theta+\cos ^{7} \theta\right)}{\sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta}$
$=\frac{\sin ^{5} \theta+\cos ^{5} \theta-\sin ^{7} \theta-\cos ^{7} \theta}{\sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta}$
$=\frac{\sin ^{5} \theta-\sin ^{7} \theta+\cos ^{5} \theta-\cos ^{7} \theta}{\sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta}$
$=\frac{\sin ^{5} \theta\left(1-\sin ^{2} \theta\right)+\cos ^{5} \theta\left(1-\cos ^{2} \theta\right)}{\sin ^{3} \theta+\cos ^{3} \theta}$
$=\frac{\sin ^{5} \theta\cos ^{2} \theta+\cos ^{5} \theta\sin ^{2} \theta}{\sin^3 \theta+\cos^3 \theta}$
$=\frac{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta(\sin^3 \theta+\cos^3 \theta)}{\sin^3 \theta+\cos^3 \theta}$
$=\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta$
這裡，
LHS = RHS
因此得證。
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