如果 \( 8 \tan A=15 \)，求 \( \sin A-\cos A \)

已知

\( 8 \tan A=15 \).

求解

我們需要求解 \( \sin A-\cos A \).

解：  

設在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle B = 90^\circ$，$8\ tan\ A = 15$。

這意味著：

$tan\ A=\frac{15}{8}$

我們知道：

在以 $B$ 為直角的直角三角形 $ABC$ 中，

根據勾股定理：

$AC^2=AB^2+BC^2$

根據三角函式定義：

$sin\ A=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$

$cos\ A=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$

$tan\ A=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$

這裡：

$AC^2=AB^2+BC^2$

$\Rightarrow AC^2=(8)^2+(15)^2$

$\Rightarrow AC^2=64+225$

$\Rightarrow AC=\sqrt{289}=17$

因此：

$sin\ A=\frac{BC}{AC}=\frac{15}{17}$

$cos\ A=\frac{AB}{AC}=\frac{8}{17}$

$\sin A-\cos A=\frac{15}{17}-\frac{8}{17}$

$=\frac{15-8}{17}$

$=\frac{7}{17}$
 $\sin A-\cos A$ 的值為 $\frac{7}{17}$。

教程點

更新於：2022年10月10日

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