五個數字成等差數列，其和為25，積為2520。如果這五個數字中的一個為$-\frac{1}{2}$，則求這些數字中最大的數字。

已知：五個數字成等差數列，其和為25，積為2520。其中一個數字為$-\frac{1}{2}$。

要求：求這些數字中最大的數字。

解答

設這五個數字為：$a-2d,\ a-d,\ a,\ a+d,\ a+2d$。

已知這五個數字的和為25。

$\therefore a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=25$

$\Rightarrow 5a=25$

$\Rightarrow a=5$
​
又已知積為2520

$\Rightarrow( a-2d)( a+2d)( a-d)( a+d).a=2520$

$( a^2-4d^2)( a^2-d^2)a=2520$

$( 25-4d^2)( 25-d^2)=504$

$4d^4-125d^2+121=0$

$( d^2-1)( 4d^2-121)=0$

如果$d^2-1=0$

$\Rightarrow d^2=1$

$\Rightarrow d=\pm 1$，這將不會得到$-\frac{1}{2}$的數值。
​
或者

如果$4d^2-121=0$

$\Rightarrow 4d^2=121$

$\Rightarrow d^2=\frac{121}{4}$

$\Rightarrow d=\pm \frac{11}{2}$
​
因此我們考慮$d=\pm\frac{11}{2}$
​
所以最大的數字是$5+2\times\frac{11}{2}=16$
 

更新於： 2022年10月10日

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