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法律研究一個鐵球被熔化並重鑄成許多相同大小的小球。如果每個小球的半徑是原球半徑的\( 1 / 4 \)，那麼可以製作多少個這樣的球？比較所有小球的表面積之和與原球的表面積。
已知
一個鐵球被熔化並重鑄成許多相同大小的小球。
每個小球的半徑是原球半徑的\( 1 / 4 \)。
要求
我們需要找出可以製作多少個小球，並比較所有小球的表面積之和與原球的表面積。
解答
設原球的半徑為 $R$。
這意味著，
每個小球的半徑 $r=\frac{1}{4} \mathrm{R}$
原球的體積 $V_1=\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}$
每個小球的體積 $V_2=\frac{4}{3} \pi r^{3}$
$=\frac{4}{3} \pi(\frac{1}{4} \mathrm{R})^{3}$
$=\frac{1}{64} \times \frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}$
可以製作的小球數量 $=V_1 \div V_2$
$=\frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3} \div \frac{1}{64} \times \frac{4}{3} \pi \mathrm{R}^{3}$
$=\frac{4 \pi}{3} \mathrm{R}^{3} \times \frac{64 \times 3}{4 \pi \mathrm{R}^{3}}$
$=64$
原球的表面積 $=4 \pi \mathrm{R}^{2}$
64 個小球的表面積之和 $=64 \times 4 \pi r^{2}$
$=256 \pi(\frac{1}{4} \mathrm{R})^{2}$
$=256 \pi \times \frac{1}{16} \mathrm{R}^{2}$
$=16 \pi \mathrm{R}^{2}$
表面積之比 $=16 \pi \mathrm{R}^{2}: 4 \pi \mathrm{R}^{2}$
$=16: 4$
$=4: 1$
因此，可以製作 64 個這樣的球。
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