有理數運算

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簡介

有理數運算，例如加法、減法、乘法和除法等基本運算。有理數是包含分子和分母的分數（分母必須是非零整數）。在代數中，有理數被廣泛應用於科學、數學和經濟領域。此外，加法、減法、除法和乘法等各種運算對於得到第三個有理數是必要的。所有這些運算都與整數的代數運算有很大不同。在本教程中，我們將討論數系、有理數、有理數之間的比較以及它們的不同運算，並附有已解決的示例。

數系

數是一個數學術語，它具有一定的值，用於計數或測量物體。數學中包含各種各樣的數，例如自然數、整數、有理數和無理數。然而，數系被定義為以計算機能夠理解的各種形式表示數字。數系也被稱為記數系統。

代數中有四種類型的數系，例如

• 十進位制（基數-10） - 在這種系統中，總共有 10 個數字，即 0、1、2、3、4、5、6、7、8 和 9

• 二進位制（基數-2） - 它僅使用兩個數字，例如 0 和 1，來表示任何數字

• 八進位制（基數-8） - 它使用 8 個數字，例如 0、1、2、3、4、5、6 和 7，來表示任何數字。

• 十六進位制（基數-16） - 它使用 16 個數字或字母，包括 0、1、2、3、4、5、6、7、8、9 以及 A、B、C、D、E、F。

有理數

在數學中，有理數是一種稱為分數的數，包含兩個項，例如一個分子和一個分母。

有理數可以表示為“𝑝/q”，其中 p 和 q 分別表示分子和分母，並且兩者都是整數。有理數的必要條件是分母必須是非零整數。

在現實生活中，有理數以各種方式使用，如下所示。

• 將比薩餅切成相等的部分

• 評估產品的折扣價格或材料

• 在餐館分攤賬單

• 表達考試中獲得的分數

• 計算投資的利息金額

此外，代數中使用了四種類型的有理數。

• 整數 - 例如 -10、0、6 等。

• 分數 - 例如 3/4、9/14 等

• 有限小數 - 例如 0.1、0.2568、0.47 等。

• 無限小數 - 例如 0.333…、0.141414… 等。

將有理數轉換為分數

每個有理數都可以表示為 p/q 的形式，也可能不表示為 p/q 的形式。因此，這些有理數可以轉換為分數。

• 無限小數 - 使用以下公式可以將無限小數轉換為分數

$$\mathrm{0.\overline{pqrs}\:=\:\frac{迴圈節}{迴圈節位數個9}}$$

例如，$\mathrm{\overline{0.3}\:=\:\frac{3}{9}\:,\:\overline{0.125}\:=\:\frac{125}{999}}$

• 有限小數 - 在這種情況下，將所有整數寫在分子位置，分母將是 10 的冪。10 的指數或冪取決於小數點左側的整數。

例如，$\mathrm{0.4567\:=\:\frac{4567}{10^{4}}\:=\:\frac{4567}{10000}}$.

比較有理數

可以根據以下說明進行兩個有理數之間的比較。

• 如果分母相同，則比較分子。分子值最大的那個是有理數中最大的。

例如，比較 $\mathrm{\frac{2}{15}\:and\:\frac{11}{15}\:由於\:11\:>\:2\:，因此\:\frac{11}{15}\:>\:\frac{2}{15}}$.

• 如果分母不同，則找到兩個有理數分母的最小公倍數（LCM）。現在，以使分母等於 LCM 值的方式乘以每個分數的分子和分母。現在，我們可以很容易地比較這些數字，因為兩個分數的分母變得相等。

例如，比較 $\mathrm{\frac{2}{5}\:and\:\frac{7}{3}}$ 5 和 3 的 LCM 是 15。現在，$\mathrm{\frac{2\times\:3}{5\times\:3}\:=\:\frac{6}{15}\:and\:\frac{7\:\times\:5}{3\times\:5}\:，在\:\frac{6}{15}\:和\:\frac{35}{15}\:中\:\frac{35}{15}\:大於\:\frac{6}{15}\:。因此\:\frac{7}{3}\:>\:\frac{2}{5}}$

有理數運算

下面解釋了四種基本代數運算，例如整數的加法、減法、乘法和除法。

有理數的加法

有理數的加法有兩種情況。

• 具有相同或相同分母的有理數 - 在這種情況下，我們將所有分子相加並寫下共同的分母。

例如，$\mathrm{\frac{3}{8}\:+\:\frac{7}{8}\:=\:\frac{3\:+\:7}{8}\:=\:\frac{10}{8}}$

• 具有不等或不同分母的有理數 - 找到兩個有理數分母的最小公倍數（LCM）。現在，以使分母等於 LCM 值的方式乘以每個分數的分子和分母。現在，將所有分子相加並寫下共同的分母。

例如，$\mathrm{\frac{4}{7}\:+\:\frac{9}{2}}$ 。7 和 2 的 LCM 是 14。

因此，$\mathrm{\frac{4}{7}\:+\:\frac{9}{2}\:=\:\frac{4\times\:2}{7\times\:2}\:+\:\frac{9\times\:7}{2\times\:7}\:=\:\frac{8}{14}\:\:+\:\frac{63}{14}\:=\:\frac{8\:+\:63}{14}\:=\:\frac{71}{14}}$

有理數的減法

有理數減法的過程與加法相同。

例如，$\mathrm{\frac{3}{5}\:-\:\frac{19}{5}\:=\:\frac{3\:-\:19}{5}\:=\:\frac{3\:-\:19}{5}\:=\:\frac{-16}{5}}$

有理數的乘法

讓我們考慮 $\mathrm{\frac{p}{q}\:and\:\frac{r}{s}}$ 的乘法

• 將一個分數的分子乘以另一個分數的分子。在這種情況下，$\mathrm{p\times\:q}$

• 將一個分數的分母乘以另一個分數的分母。在這種情況下，$\mathrm{q\times\:s}$

• 將分子和分母的乘積結果分別寫入相應的位置並簡化分數（如果有）。在這種情況下，$\mathrm{\frac{p\times\:r}{q\times\:s}}$

有理數的除法

在有理數的除法中，第二個分數被反轉。然後，執行乘法運算。

例如，$\mathrm{\frac{3}{2}\:\div\:\frac{9}{4}\:=\:\frac{3}{2}\:\times\:\frac{4}{9}\:=\:\frac{3\times\:4}{2\times\:9}\:=\:\frac{12}{18}}$

已解決的示例

1)計算 $\mathrm{-\:\frac{9}{10}\:和\:\frac{2}{3}}$ 之間的差。

答案 - 兩個有理數的分母都不相同。

因此，10 和 3 的 LCM 是 30。

$$\mathrm{(-\frac{9}{10})\:-\:(\frac{2}{3})\:=\:(-\frac{9\times\:3}{10\times\:3})\:-\:(\frac{2\times\:10}{3\times\:10})}$$

$$\mathrm{=\:(-\frac{27}{30})\:-\:(\frac{20}{30})}$$

$$\mathrm{=\:\frac{-27\:-\:20}{30}\:=\:\frac{-47}{30}}$$

∴ $\mathrm{-\frac{9}{10}\:和\:\frac{2}{3}}$ 之間的差是 $\mathrm{\frac{-47}{30}}$

2)如果吉塔要製作薄煎餅，她會使用 $\mathrm{\frac{4}{7}}$ 的麵粉。她將使用多少麵粉來烘焙 $\mathrm{\frac{1}{3}}$ 部分的薄煎餅？

答案 - 給定的是，

製作一個薄煎餅消耗的麵粉總量 $\mathrm{=\:\frac{4}{7}}$

現在，製作 $\mathrm{\frac{1}{3}}$ 部分薄煎餅所用的麵粉量為 $\mathrm{=\:\frac{4}{7}\:\times\:\frac{1}{3}}$

$$\mathrm{=\:\frac{4\times\:1}{7\times\:3}\:=\:\frac{4}{21}}$$

∴ 吉塔必須使用 $\mathrm{\frac{4}{21}}$ 部分的麵粉。

3)計算 $\mathrm{\frac{10}{17}\:\div\:\frac{1}{2}}$

答案 - $\mathrm{\frac{10}{17}\:\div\:\frac{1}{2}\:=\:\frac{10}{17}\:\times\:\frac{2}{1}}$

$\mathrm{\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{10\times\:2}{17\times\:1}\:=\:\frac{20}{17}}$

結論

本教程簡要介紹了有理數的基本概念及其各種運算。本教程描述了數系和有理數的基本定義、有理數的比較以及有理數的運算。此外，還提供了一些已解決的示例，以便更好地理解這一概念。總之，本教程可能有助於理解有理數運算的基本概念。

常見問題解答

1. 什麼是加法和乘法單位元？

零和一被稱為加法和乘法單位元。這意味著任何有理數與 0 相加的結果都是其本身。同樣，任何有理數與 1 相乘的結果都是相同的數字。

2. 有理數可以表示在數軸上嗎？

是的，有理數也可以表示在數軸上。

3. 哪些代數運算滿足有理數的交換律和結合律？

有理數的加法和乘法滿足交換律和結合律。

4. 有理數乘法的性質是什麼？

有理數乘法有幾個性質，如下所述。

• 如果乘法的順序顛倒，則結果保持不變。

• 任何有理數與 1 相乘的結果都是相同的有理數。

• 任何有理數與 0 相乘的結果都是 0。

5. 有理數的除法滿足逆性質。這個說法正確嗎？

不。有理數的除法不滿足逆性質。