將有理數化成標準形式

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介紹

當一個有理數以其標準形式表示時，表示其分母為正整數，且其分子除 1 外沒有其他公因數。有理數是可以表示為 $\mathrm{\frac{r}{s}}$ 的數，其中 r 和 s 是整數，且 s 不等於零。因此，如果 $\mathrm{\frac{4}{8}}$ 是一個有理數，則其標準形式將是 $\mathrm{\frac{1}{2}}$，因為我們無法再化簡 $\mathrm{\frac{1}{2}}$。當分母和分子之間只有一個公因數時，結果是一個有理數。但是，由於分母始終為正，因此如果分子也帶有正號，則有理數可以被認為是標準的。如果滿足這些條件，則這些數字可以稱為標準形式的有理數。

有理數

有理數的形式為 $\mathrm{\frac{r}{s}}$，其中 r 和 s 是整數，且 s 不等於零。例如 $\mathrm{\frac{4}{8}}$、2、0 都是有理數。

有理數的標準形式

有理數的標準形式是有理數的分數形式的最簡形式。

例如

$\mathrm{\frac{2}{3}}$ 是數字 $\mathrm{\frac{8}{12}}$ 的標準形式。

如何檢查給定的形式是否為有理數的標準形式？

為了確定給定的有理數是否處於其標準形式，我們必須首先確定分子和分母的 H.C.F.（最大公因數）。如果它是 1，則給定有理數的分子和分母是互質數。如果分子和分母不是互質數，我們首先將其除以它們的公因數。我們繼續將分子和分母除以公因數，直到我們得到 HCF 等於 1 的分子和分母。

例如

給定的有理數是 $\mathrm{\frac{6}{9}}$，注意 6 和 9 的 HCF 是 3，而不是 1。因此，我們將分子和分母除以 HCF，得到化簡後的形式 $\mathrm{\frac{2}{3}}$，它無法進一步化簡。

因此，$\mathrm{\frac{2}{3}}$ 是有理數 $\mathrm{\frac{6}{9}}$ 的標準形式。

轉換為標準形式

要將給定的有理數轉換為標準形式，我們將遵循以下過程：

檢查提供的有理數是否具有正或負分母。如果分母為負，則將分子乘以 -1 或將分母除以 -1 以使其為正。然後，計算分子和分母絕對值的 HCF。將計算出的 HCF 值除以指定有理數的分子和分母。得到的結果是有理數的標準形式。

例如

給定的有理數是 $\mathrm{\frac{-12}{36}}$，注意這裡分母是正數，所以我們不需要乘以 -1。現在 12 和 36 的 HCF 是 12，所以我們將分子和分母除以 12，得到給定有理數的標準形式為 $\mathrm{\frac{-1}{3}}$。

有理數的代數

有理數集用 Q 表示。設 $\mathrm{\frac{a}{b}\: \&\: \frac{c}{d}}$ 為兩個有理數，使得 b≠0，d≠0。

兩個有理數的和定義為 $\mathrm{\frac{a}{b} + \frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}}$。

兩個有理數的差定義為 $\mathrm{\frac{a}{b} - \frac{c}{d}=\frac{ad-bc}{bd}}$。

兩個有理數的積定義為 $\mathrm{\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}}$

兩個有理數的商定義為 $\mathrm{\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}}$

例題

1.有理數 24/96 的標準形式是什麼？有理數 $\mathrm{\frac{24}{96}?}$ 的標準形式是什麼？

解答

給定的有理數是 $\mathrm{\frac{24}{96}}$，注意 24 和 96 的 HCF 是 24，它不是 1。因此，我們將分子和分母除以 HCF 24，得到化簡後的形式 $\mathrm{\frac{1}{4}}$，它無法進一步化簡。

因此，$\mathrm{\frac{1}{4}}$ 是有理數 $\mathrm{\frac{24}{96}}$ 的標準形式。

2.將以下有理數按降序排列。

$$\mathrm{\frac{35}{25},\frac{25}{35},\frac{25}{75}}$$

解答

注意，給定的三個有理數的標準形式分別是 $\mathrm{\frac{7}{5},\frac{5}{7},\frac{1}{5}}$。

要將這些數字按降序排列，首先我們將它們的分母都變成相同，方法是求它們的最大公倍數。

注意 5 和 7 的最大公倍數是 35，

$$\mathrm{所以\: \frac{7}{5}=\frac{49}{35},\frac{5}{7}=\frac{25}{35},\frac{1}{5}=\frac{7}{35}}$$

$$\mathrm{現在,\: \frac{49}{35}>\frac{25}{35}>\frac{7}{35}.}$$

因此，給定有理數的降序排列是 $\mathrm{\frac{7}{5},\frac{5}{7},\frac{1}{5}}$

3.應該向 $\mathrm{\frac{3}{5}}$ 中新增什麼數字才能得到結果 $\mathrm{\frac{1}{5}}$？

解答

設向有理數 $\mathrm{\frac{3}{5}}$ 中新增 x 以得到結果 $\mathrm{\frac{1}{5}}$。

因此，

$$\mathrm{x+\frac{3}{5}=\frac{1}{5}}$$

$$\mathrm{x=\frac{1}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1-3}{5}=\frac{-2}{5}}$$

因此，應該向有理數 $\mathrm{\frac{3}{5}}$ 中新增 $\mathrm{\frac{-2}{5}}$ 以得到結果 $\mathrm{\frac{1}{5}}$。

4.應該從 $\mathrm{\frac{2}{7}}$ 中減去什麼數字才能得到結果 $\mathrm{\frac{1}{3}}$？

解答

設從有理數 $\mathrm{\frac{2}{7}}$ 中減去 x 以得到結果 $\mathrm{\frac{1}{3}}$。

因此，

$$\mathrm{\frac{2}{7}-x=\frac{1}{3}}$$

因此，應該從有理數 $\mathrm{\frac{2}{7}}$ 中減去 $\mathrm{\frac{-1}{21}}$ 以得到結果 $\mathrm{\frac{1}{3}}$。

5.計算以下算式

• $\mathrm{\frac{6}{7} \times 3}$

• $\mathrm{\frac{8}{9}÷\frac{16}{81}}$

解答

• $\mathrm{\frac{6}{7}×3=\frac{6}{7}\times \frac{3}{1}=\frac{6×3}{7×1}=\frac{18}{7}}$

• $\mathrm{\frac{8}{9}÷\frac{16}{81}=\frac{8}{9 }\times \frac{81}{16}=1×\frac{9}{2}=\frac{9}{2}}$

結論

在本文中，我們學習了有理數及其標準形式。當分母和分子之間的公因數僅為 1，且分母始終為正時，則稱有理數處於其標準形式。此外，當分子具有正號時，也滿足有理數的標準形式。我們將這些數字稱為標準形式的有理數。

常見問題

1.零是什麼型別的數字？

是的，數字零可以寫成 $\mathrm{\frac{p}{q}=\frac{0}{q}}$ 的形式，其中 q≠0，因此零是有理數。

2.整數是有理數嗎？

整數可以寫成 $\mathrm{\frac{p}{q}}$ 的形式，其中 q≠0。例如，整數 100 可以寫成 $\mathrm{\frac{100}{1}}$，這是有理數的標準形式，因此每個整數都是有理數。

3.寫出四個是有理數且等價於給定數字 $\mathrm{\frac{3}{4}}$ 的數字。

要找到與給定標準形式的有理數等價的數字，我們將給定有理數的標準形式的分子和分母乘以一個不等於 1 和 0 的整數。四個與給定數字 $\mathrm{\frac{3}{4}\: 等價的數字是\: \frac{9}{12},\frac{6}{8},\frac{15}{20},\frac{18}{24}}$

4.有理數具有哪些 3 個特徵？

滿足以下所有三個條件的任何數字都被認為是有理數：它可以寫成一個簡單的分數 $\mathrm{\frac{p}{q}}$，q≠0。分子和分母都必須是真實的普通整數或互質數，且 q 不能為零。

5.無限大是是有理數嗎？

根據實數的定義，即實數是可以是有理數或無理數的數字，位於區間 [-∞,∞] 中。因此，根據此定義，無窮大不是實數，根據定義本身也不是有理數。