將POS轉換為標準POS形式

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當布林表示式表示為和項的積時，稱為POS（和的積）形式。在POS形式中，表示式的每個和項可能不包含所有變數。

另一方面，當布林表示式表示為和項的積，其中每個和項都包含函式的所有變數時，則稱為標準和的積（SPOS）形式。在標準POS形式中，布林表示式的每個和項稱為最大項。

現在，讓我們討論將POS形式的布林表示式擴充套件到標準POS形式。

將POS形式的布林表示式轉換為標準POS形式

可以按如下方式將POS形式的布林表示式轉換為標準POS形式：

• 寫下給定布林表示式的所有和項。

• 如果任何和項中缺少一個或多個變數，則將每個缺失變數及其補碼的乘積新增到該項中。

• 根據布林代數規則展開項。

• 最後，從表示式中刪除冗餘項。

讓我們透過示例來了解將POS形式的布林表示式轉換為標準POS形式。

示例1

將以下3變數POS形式的布林表示式轉換為其標準POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}\rgroup.\lgroup \overline{B}+C\rgroup.\lgroup A+\overline{C}\rgroup} $$

解答

給定的布林函式是：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}\rgroup.\lgroup \overline{B}+C\rgroup.\lgroup A+\overline{C}\rgroup} $$

給定的布林表示式處於其POS形式。其中，第一個項缺少變數C，第二個項缺少變數A，第三個項缺少變數B。

因此，為了將此給定函式轉換為其SPOS形式，我們將缺失變數及其補碼的乘積新增到函式的每一項，即：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}+C\overline{C} \rgroup.\lgroup \overline{B}+C+A\overline{A}\rgroup.\lgroup A+\overline{C}+B\overline{B} \rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}+C\rgroup\lgroup A+\overline{B}+\overline{C} \rgroup\lgroup A+\overline{B}+C\rgroup\lgroup \overline{A}+\overline{B}+C\rgroup\lgroup A+B+\overline{C} \rgroup\lgroup A+\overline{B}+\overline{C} \rgroup}$$

刪除冗餘項後，我們得到：

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+\overline{B}+C\rgroup\lgroup \overline{A}+\overline{B}+C\rgroup\lgroup A+B+\overline{C}\rgroup\lgroup A+\overline{B}+\overline{C}\rgroup}$$

這是給定布林函式的標準POS形式。

示例2

將以下4變數布林函式轉換為其標準POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D\rgroup=\lgroup A+C+D\rgroup.\lgroup A+\overline{B}+\overline{D} \rgroup.\lgroup A+\overline{C}+D\rgroup}$$

解答

給定函式處於POS形式：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D\rgroup=\lgroup A+C+D\rgroup.\lgroup A+\overline{B}+\overline{D} \rgroup.\lgroup A+\overline{C}+D\rgroup}$$

這裡，第一個和第三個項缺少變數B，第二個項缺少變數C。因此，為了獲得函式的標準POS形式，我們將新增缺失變數及其補碼的乘積，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D\rgroup=\lgroup A+C+D+B\overline{B} \rgroup.\lgroup A+\overline{B}+\overline{D}+C\overline{C} \rgroup.\lgroup A+\overline{C}+D+B\overline{B} \rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B,C,D\rgroup=\lgroup A+B+C+D\rgroup.\lgroup A+\overline{B}+C+D\rgroup.\lgroup A+\overline{B}+C+\overline{D} \rgroup.\lgroup A+\overline{B}+\overline{C}+\overline{D}\rgroup.\lgroup A+B+\overline{C}+D\rgroup.\lgroup A+\overline{B}+\overline{C}+D\rgroup}$$

由於表示式中沒有冗餘項。因此，這是給定布林函式的標準POS形式。

示例3

將以下2變數布林函式轉換為標準POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B\rgroup=\overline{A}.\lgroup A+\overline{B}\rgroup.B}$$

解答

給定的布林函式是：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B\rgroup=\overline{A}.\lgroup A+\overline{B}\rgroup.B}$$

此函式處於其POS形式，具有三個和項，其中第一個項缺少變數B，第三個項缺少變數A。因此，為了將其轉換為標準POS形式，我們將變數及其補碼的乘積新增到該項，如下所示：

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B\rgroup=\lgroup \overline{A}+B\overline{B}\rgroup.\lgroup A+\overline{B} \rgroup.\lgroup A\overline{A}+B\rgroup}$$

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B\rgroup=\lgroup \overline{A}+B\rgroup\lgroup\overline{A}+\overline{B} \rgroup\lgroup A+\overline{B}\rgroup\lgroup A+B\rgroup\lgroup \overline{A}+B\rgroup}$$

從表示式中刪除冗餘項後，我們得到：

$$\mathrm{\Rightarrow \mathit{f}\lgroup A,B\rgroup=\lgroup \overline{A}+B\rgroup\lgroup\overline{A}+\overline{B} \rgroup\lgroup A+\overline{B}\rgroup\lgroup A+B\rgroup}$$

這是給定布林表示式的標準POS形式。

練習題

Q1. − 將以下3變數POS形式的布林表示式轉換為其標準POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C\rgroup=\lgroup A+B\rgroup\lgroup A+\overline{B}\rgroup\lgroup \overline{B}+C\rgroup\lgroup A+C\rgroup}$$

Q2. − 將以下4變數POS形式的布林表示式轉換為其標準POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B,C,D \rgroup=\lgroup A+B+\overline{C} \rgroup\lgroup A+\overline{B}+\overline{D} \rgroup\lgroup \overline{A}+\overline{B}+D \rgroup\lgroup A+C+\overline{D} \rgroup}$$

Q3. − 將以下2變數布林函式轉換為標準POS形式。

$$\mathrm{\mathit{f}\lgroup A,B \rgroup=\lgroup A+B \rgroup.A}$$

結論

這就是關於將POS（和的積）形式的布林表示式轉換為SPOS（標準和的積）形式的所有內容。