卡爾·皮爾遜相關係數

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相關係數

相關係數通常用於統計學中，以衡量兩個變數之間的關係。相關性通常表示兩個變數（例如 X 和 Y）之間線性關係程度的特定值。統計學中使用了許多型別的相關係數。然而，卡爾·皮爾遜相關係數（也稱為皮爾遜 R）是線性迴歸中最常用的相關係數。

相關係數的型別

根據變數之間關係的方向，相關性可分為三種類型：

• 正相關 (0 到 +1)

• 負相關 (0 到 -1)

• 零相關 (0)

正相關 (0 到 +1)

在這種情況下，X 和 Y 之間兩個函式的變化方向或發生方向相同。例如，燃煤量的增加會導致燃煤動力火車中燃燒的電力數量增加。

負相關 (0 到 -1)

在這種情況下，X 和 Y 變數之間的變化方向相反。例如，隨著商品價格上漲，其需求下降。

零相關 (0)

在零相關的情況下，變數之間沒有關係。例如，食物攝入量的增加不會影響一個人的駕駛能力。

皮爾遜相關係數

卡爾·皮爾遜相關係數是一種常用的數學方法，其中使用數值表示來衡量兩個線性相關變數之間關係的程度。相關係數用“r”表示。

實際平均數法

在實際平均數法中，它表示為

$\mathrm{r\:=\:\frac{\sum\:(X\:-\:\bar{X})\:(Y\:-\:\bar{Y})}{\sqrt{\sum\:(X\:-\:\bar{X})^{2}}\:\sqrt{\sum\:(Y\:-\:\bar{Y})^{2}}}}$

其中，$\mathrm{\bar{X}\:=\:X\:變數的平均數}$

$\mathrm{\bar{Y}\:=\:Y\:變數的平均數}$

這種皮爾遜相關的表達方法稱為實際平均數法。

假設平均數法

還有一種稱為假設平均數法的方法來表達相關係數。假設平均數法表示為

假設平均數法

$\mathrm{d_{x}\:=\:X\:-\:A}$

$\mathrm{d_{y}\:=\:Y\:-\:A}$

$\mathrm{r\:=\:\frac{N\:\sum\:d_{x}\:d_{y}\:-\:(\sum\:d_{x})\:(\sum\:d_{y})}{\sqrt{N\:\sum\:d_x^2\:-\:(\sum\:d_{x})^{2}}\:\sqrt{N\:\sum\:d_y^2\:-\:(\sum\:d_{y})^{2}}}}}$

在這個卡爾·皮爾遜相關公式中：

• dx = x 系列與假設平均數的偏差，其中 (X - A)

• dy = Y 系列與假設平均數的偏差 = (Y - A)

• Σdx.dy 表示多個 dx 和 dy 的總和。

• Σdx² 是 dx 平方和。

• Σdy² 是 dy 平方和。

• Σdx 是 X 系列偏差的總和。

• Σdy 是 Y 系列的總和，並且

• N 是成對觀測的數量。

步進偏差法

表示為

$\mathrm{r\:=\:\frac{dX^{'}\:dY^{'}\:-\:\frac{\sum\:d^{'}\:X\:\sum\:d\:Y^{'}}{N}}{\sqrt{(\sum\:d\:x^{1})^{2}\:-\:\frac{(\sum\:d\:x^{1})^{2}}{N}}\:\sqrt{(\sum\:d\:y^{'})^{2}\:-\:\frac{(\sum\:d\:y^{'})^{2}}{N}}}}$

在這個特定的卡爾·皮爾遜方法中：

• dx′=dxC1

• dy′=dyC2

• C₁ = x 系列的公因子

• C₂ = y 系列的公因子

• dx 是 x 系列與假設平均數的偏差，其中 (X - A)

• dy 是 Y 系列與假設平均數的偏差，其中 (Y - A)

• Σdx.dy 表示多個 dx 和 dy 的總和。

• Σdx² 是 dx 平方和。

• Σdy² 是 dy 平方和。

• Σdx 是 X 系列偏差的總和。

• Σdy 是 Y 系列的總和。

• N 是成對觀測的數量。

卡爾·皮爾遜相關係數的主要特徵

• 相關係數 (r) 沒有單位。

• 如果 r 為正值，則表示 X 和 Y 方向相同。

• 如果 r 為負值，則表示 X 和 Y 方向相反。

• 如果 r 的值為 0，則 X 和 Y 不相關。

• r 值越高，表示兩個變數之間的線性關係越強。

• r 值越低，表示兩個變數之間的關係越弱。

• 如果 r 的值為 +1 或 -1，則兩個變數之間的相關性被認為是完美的。

卡爾·皮爾遜相關係數的假設

計算卡爾·皮爾遜相關係數時，必須做出一些假設。

以下是兩個主要假設：

• 任何兩個變數之間始終存線上性關係。

• 必須將異常值保持在最小範圍內或完全去除。

異常值是不常用的資料，與其餘資料形成鮮明對比。它可能表示實際上不適合該集合的極端資料。可以透過將資料繪製在圖表紙上並查詢任何極端研究來發現異常值。異常值不會出現在皮爾遜圖上，而是在圖表的極端點上發現。

皮爾遜係數的示例

• 當相關係數為 (1) 時，表示相關性為正。也就是說，對於一個變數的每次增加，另一個變數都會以固定的比例正向增加。例如，根據腳的長度變化的鞋碼是完美（幾乎）相關的例子。

• 相關係數為 (-1) 表示對於一個變數的每次正向增加，另一個變數都會成比例地負向減少。例如，氣罐中氣體數量的減少與速度呈完美（幾乎）反相關。

• 當相關係數為 (0) 時，這兩個變數不相關。

何時使用皮爾遜相關係數

當以下所有條件都為真時，皮爾遜相關係數 (r) 是一個不錯的選擇：

• 兩個變數都是定量的：如果任何變數都是定性的，則必須選擇不同的方法。

• 變數服從正態分佈：可以準備每個變數的直方圖，以驗證變數的分佈是否近似正態。如果變數略微非正態，則沒有問題。

• 資料沒有異常值：異常值是不遵循與其餘資料相同模式的觀測值。散點圖是檢查異常值的好方法——重要的是要查詢與其他點距離極其遠的點。

• 關係是線性的：“線性”表示兩個變數之間的關係或多或少可以用直線表示。如今，可以使用軟體檢查關係是否線性。

結論

卡爾·皮爾遜相關係數是統計學中研究線性變量回歸的主要工具。它在很多方面都對使用者有所幫助。由於該研究依賴於線性變數，因此易於使用研究結果。該係數的應用非常廣泛，也用於日常生活。為了在製鞋到加油等許多領域獲得更好的認識，該係數可以發揮重要作用。因此，所有希望檢查雙變數研究統計模型的人都應該學習卡爾·皮爾遜相關係數。

常見問題

Q1. 相關係數是什麼意思？

A1. 相關係數通常用於統計學中，以衡量兩個變數之間的關係。相關性通常表示兩個變數（例如 X 和 Y）之間線性關係程度的特定值。

Q2. 計算卡爾·皮爾遜相關係數的假設是什麼？

A2. 計算卡爾·皮爾遜相關係數時，必須做出一些假設。

以下是兩個主要假設：

• 任何兩個變數之間始終存線上性關係。

• 必須將異常值保持在最小範圍內或完全去除。