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法學研究求1到500之間所有既是2的倍數又是5的倍數的整數之和。
待辦事項
我們必須找到
(i) 1到500之間所有
(ii) 1到500之間所有既是2的倍數又是5的倍數的整數之和。
(iii) 1到500之間所有是2的倍數或5的倍數的整數之和。
解答
(i) 既是2的倍數又是5的倍數的數是2和5的最小公倍數的倍數。
2和5的最小公倍數 = 2 × 5 = 10
能被10整除的數有 10, 20,....., 100, 110,....., 990, 1000,......
1到500之間能被2和5整除的數有 10, 20, ......,490
這是一個等差數列。
這裡：
首項 a = 10
公差 d = 10
末項 an = 490
我們知道：
an = a + (n-1)d
490 = 10 + (n-1)10
490 - 10 = (n-1)10
480 = (n-1)10
48 = n - 1
n = 48 + 1
n = 49
我們知道：
Sn = n/2[2a + (n-1)d]
= 49/2[2 × 10 + (49 - 1) × 10]
= 49/2[20 + 48 × 10]
= 49/2(20 + 480)
= 49 × 250
$=12250$
1到500之間所有既是2的倍數又是5的倍數的整數之和是 12250。
(ii) 既是2的倍數又是5的倍數的數是2和5的最小公倍數的倍數。
2和5的最小公倍數 = 2 × 5 = 10
能被10整除的數有 10, 20,....., 100, 110,....., 990, 1000,......
1到500之間能被2和5整除的數有 10, 20, ......,500
這是一個等差數列。
這裡：
首項 a = 10
公差 d = 10
末項 an = 500
我們知道：
an = a + (n-1)d
500 = 10 + (n-1)10
500 - 10 = (n-1)10
490 = (n-1)10
49 = n - 1
n = 49 + 1
n = 50
我們知道：
Sn = n/2[2a + (n-1)d]
= 50/2[2 × 10 + (50 - 1) × 10]
= 25[20 + 49 × 10]
$=25(20+490)$
= 25 × 510
$=12750$
1到500之間所有既是2的倍數又是5的倍數的整數之和是 12750。
(iii) 是2的倍數或5的倍數的整數之和 = 2的倍數之和 + 5的倍數中不是2的倍數的數之和。
1到500之間能被2整除的數有 2, 4, ......,500
這是一個等差數列。
這裡：
首項 a = 2
公差 d = 4 - 2 = 2
末項 an = 500
我們知道：
an = a + (n-1)d
500 = 2 + (n-1)2
500 - 2 = (n-1)2
498 = (n-1)2
249 = n - 1
n = 249 + 1
n = 250
我們知道：
Sn = n/2[2a + (n-1)d]
= 250/2[2 × 2 + (250 - 1) × 2]
= 125[4 + 249 × 2]
$=125(4+498)$
= 125 × 502
$=62750$
1到500之間能被5整除但不能被2整除的數有 5, 15, ......,495
這是一個等差數列。
這裡：
首項 a = 5
公差 d = 15 - 5 = 10
末項 an = 495
我們知道：
an = a + (n-1)d
495 = 5 + (n-1)10
495 - 5 = (n-1)10
490 = (n-1)10
49 = n - 1
n = 49 + 1
n = 50
我們知道：
Sn = n/2[2a + (n-1)d]
= 50/2[2 × 5 + (50 - 1) × 10]
= 25[10 + 49 × 10]
$=25(500)$
$=12500$
1到500之間所有是2的倍數或5的倍數的整數之和是 75250 (此處結果根據原文推測，原文計算過程有誤)。
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