餘數

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簡介

除法是數學中基本的算術運算。它是將事物分配成相等部分的過程。當被除數不能被除數完全整除時，會留下一個數字或值，這個數字或值被稱為餘數。在數學中，在許多情況下，剩餘的部分或值被稱為殘差。有時在許多計算中，為了得到整數答案，會忽略或四捨五入殘差。例如，在十進位制數 5.04 中，小數點後的數字是 4。它表示餘數或殘差。有時為了只給出整數答案，會忽略殘差 4，答案為 5。當一個多項式被一個線性多項式除時，使用餘數定理。在本教程中，我們將學習歐幾里得除法演算法。

除法

除法是數學中基本的算術運算。除法是將事物分配成相等部分的過程。它是乘法的逆運算。除法可以用符號 / 表示，有時也用 ( ) 表示，例如 $\mathrm{8\:\div\:2\:=\:4}$。這可以用乘法形式寫成 $\mathrm{2\:\times\:4\:=\:4}$。因此可以說它是乘法的逆運算。

關於除法的基本術語

被除數

它是任何我們將要分成相等部分的數字、數量或值，稱為被除數。它是除法的重要組成部分。

除數

它是用來除被除數的數字，稱為除數。

商

它是執行除法後得到的數值或答案，稱為商。

餘數

執行除法後，剩餘或留下的值稱為餘數。

例如

考慮 $\mathrm{105\:\div\:5\:=}$

這裡被除數 = 105

除數 = 5

商 = 21

餘數 = 0

歐幾里得除法演算法

歐幾里得除法演算法基於歐幾里得除法引理。引理是用來證明另一個陳述的已證明的陳述。進一步轉向歐幾里得除法演算法，首先我們需要理解歐幾里得除法引理。

根據歐幾里得除法引理，對於每個正整數 𝑎 和 b，存在唯一的整數 q 和 r 滿足 $\mathrm{a\:=\:bq\:+\:r,\:0\:\leq\:r\:<\:b}$

在七年級你已經學習過這個引理，即：

$\mathrm{被除數\:=\:除數\:\times\:商\:+\:餘數}$

這裡整數 q 和 r 分別是商和餘數。

讓我們用一個例子來理解歐幾里得除法引理：

當我們用 5 除 46 時，得到商 9 和餘數 1，那麼根據歐幾里得除法引理：

$$\mathrm{39\:=\:5\:\times\:7\:\div\:4}$$

演算法是一系列明確定義的步驟，它給出解決某一型別問題的過程。歐幾里得除法演算法用於計算給定兩個整數的最大公因數 (HCF)。

讓我們透過以下步驟使用歐幾里得除法演算法獲得兩個正整數 c 和 d 的最大公因數：

步驟 1 - 應用歐幾里得除法引理，所以我們可以找到 q 和 r，使得 $\mathrm{c\:=\:dq\:+\:r,\:0\:\leq\:r\:<\:d}$ 。

步驟 2 - 如果 $\mathrm{r\:=\:0}$，則 c 和 d 的最大公因數是 d。當 $\mathrm{r\:\neq\:0}$ 時，此引理適用。

步驟 3 - 繼續這個過程，直到餘數為零。該階段的除數將是所需的最大公因數。

餘數

執行除法後，剩餘或留下的值稱為餘數。當被除數不能被除數完全整除時，會留下一個數字或值，這個數字或值被稱為餘數。在數學中，殘差是指計算完成後剩下的東西。在許多情況下，為了得到整數答案，有時會忽略或四捨五入這些餘數。

數字除法中餘數的性質

• 餘數總是小於除數。

• 如果被除數能被除數完全整除，則餘數為零。

多項式除法中餘數的性質

• 在多項式除法中，可以使用餘數定理和因式定理來找到餘數。

• 多項式的次數應為 1。

• 餘數的次數總是小於除數的次數。

• 當任何多項式被次數為 1 的線性多項式除時，餘數必須為常數。

多項式中的餘數定理

此定理用於求多項式被線性多項式除時的餘數。當我們執行除法時，剩餘的數字或項稱為餘數。所以讓我們討論餘數定理。

餘數定理 令 $\mathrm{p(x)}$ 為任何次數大於或等於 1 的多項式，並令為任何實數。

假設 $\mathrm{p(x)}$ 被 $\mathrm{x\:-\:a}$ 除，商為 $\mathrm{q(x)}$，餘數為 $\mathrm{r(x)}$，則餘數為 $\mathrm{p(a)}$。

證明 - 令 $\mathrm{p(x)}$ 為任何次數大於或等於 1 的多項式，並令為任何實數。假設 $\mathrm{p(x)}$ 被 𝑥 − 𝑎 除，商為 $\mathrm{q(x)}$，餘數為 $\mathrm{r(x)}$。數學上可以表示為

$$\mathrm{P(x)\:=\:(x\:-\:a)\:\times\:q(x)\:+\:r(x)}$$

這裡 𝑥 − 𝑎 的次數為 1，𝑟(𝑥) 的次數小於 $\mathrm{x\:-\:a}$ 的次數。

因此 𝑟(𝑥) 的次數 = 0。這意味著 𝑟(𝑥) 是常數，設為 r。

$$\mathrm{P(x)\:=\:(x\:-\:a)\:\times\:q(x)\:+\:r}$$

特別是，如果我們考慮 𝑥 = 𝑎，這個等式將給我們

$$\mathrm{P(a)\:=\:(a\:-\:a)\:\times\:q(a)\:+\:r}$$

證畢

結論

本教程涵蓋了除法、歐幾里得除法演算法、餘數、數字除法和多項式除法中餘數的性質以及餘數定理等主題。除法是數學中基本的算術運算之一。當被除數不能被除數完全整除時，會留下一個數字或值，這個數字或值稱為餘數。在數學中，殘差是指計算完成後剩下的東西。歐幾里得除法演算法用於在給出兩個整數時找到最大公因數 (HCF)。餘數定理用於求多項式被線性多項式除時的餘數。

常見問題

1. 零是餘數嗎？

是的。當被除數能被除數完全整除時，我們得到的餘數為零。

2. 說明餘數定理的應用？

餘數定理的主要應用是證明因式定理，以及求多項式被線性多項式除時的餘數。

3. 說明以下陳述是真還是假。除以零是未定義的？

正確 - 如果任何數字乘以零，答案為零，反過來，即 $\mathrm{}\frac{1}{10}$。它將具有無限值。因此，我們無法在數學中指定該值。

4. 歐幾里得除法引理和歐幾里得除法演算法相同還是不同？

歐幾里得除法引理是一個已證明的陳述，用於證明另一個陳述。而歐幾里得除法演算法給出一系列明確定義的步驟來解決此類問題。

5. 歐幾里得除法引理有哪些應用？

歐幾里得除法引理的應用：

• 它用於整數的除法。

• 它用於確定正整數的最大公因數。

• 它用於查詢奇數、偶數、立方數、平方數等性質。