證明有限個可數集的笛卡爾積是可數的。

問題

我們需要證明有限個可數集的笛卡爾積是可數的。

解答

設X1, X2 ,……Xn是可數集。

當k =1……N時，Yk= X1 * X2 * …….* Xk。因此，

Yn := X1 * X2 * · · · * Xn

證明

使用歸納法：

當k = 1時，Y1 = X1是可數的。

假設Yk (k ∈ n, 1 ≤ k < n)是可數的；

則Yk+1 = ( X1 * X2 * …….* Xk) * Xk+1 = Yk * Xk+1，其中Yk和Xk+1都是可數的。因此可數集的笛卡爾積總是可數的。所以，Yk+1是可數的。

同樣地，讓我們證明有限個可數無限集的笛卡爾積是可數無限的。

證明

設X1, X2 ,……Xn是可數無限集。

當k =1……N時，定義Yk= X1 * X2 * …….* Xk。因此

因此，Yn := X1 * X2 * · · · * Xn

首先我們需要證明Yn是可數的。

透過歸納法

如果k=1，則集合Y1=X1是可數無限的。

假設Yk( K∈N, 1<=K<N)是可數無限的。

那麼，

Yk+1=(X1 * X2 *....Xk) * Xk+1

Yk+1=Yk * Xk+1

其中，Yk和Xk+1都是可數無限的，我們知道可數集的笛卡爾積是可數的。

因此，Yk+1是可數無限的。

我們得出結論，X1 * X2 *.....Xn是可數無限的。

因此，有限個可數無限集的笛卡爾積是可數無限的。

Bhanu Priya

更新於：2021年6月16日

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