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法學凸極同步機的功率-角度特性
由於電樞電阻Ra對同步電機輸出功率與其轉矩角δ之間關係的影響可以忽略不計，因此可以忽略它。忽略Ra時，滯後功率因數下凸極同步機的相量圖如圖1所示。凸極機的功率-角度特性可以由相量圖匯出。
交流發電機每相的復功率輸出為：
$$\mathrm{𝑆_{1𝜑} =𝑉{𝐼^{*}_{𝑎}}… (1)}$$
取勵磁電壓（Ef）作為參考相量，則：
$$\mathrm{𝑉 = 𝑉\angle − \delta = 𝑉\:cos\:\delta − 𝑗𝑉\:sin\:\delta … (2)}$$
$$\mathrm{𝐼_{𝑎} = 𝐼_{𝑞} − 𝑗𝐼_{𝑑}}$$
$$\mathrm{∴\:{𝐼^{*}_{𝑎}}= 𝐼_{𝑞} + 𝑗𝐼_{𝑑} … (3)}$$
因此，由公式(1)、(2)和(3)，我們得到：
$$\mathrm{𝑆_{1𝜑} = (𝑉\:cos\:\delta − 𝑗𝑉\:sin\:\delta)(𝐼_{𝑞} + 𝑗𝐼_{𝑑}) … (4)}$$
從相量圖中，我們得到：
$$\mathrm{𝐶𝐷 = 𝐴𝑀 = 𝐼_{𝑞}𝑋_{𝑞} = 𝑉\:sin\:\delta}$$
$$\mathrm{∴\:𝐼_{𝑞} =\frac{𝑉\:sin\:\delta}{𝑋_{𝑞}}… (5)}$$
$$\mathrm{𝐴𝐶 = 𝑀𝐷 = 𝑂𝐷 − 𝑂𝑀 = 𝐼_{𝑑}𝑋_{𝑑} = 𝐸_{𝑓} − 𝑉\:cos\:\delta}$$
$$\mathrm{∴\:𝐼_{𝑑} =\frac{𝐸_{𝑓} − 𝑉\:cos :\delta}{𝑋_{𝑑}}… (6)}$$
將Iq和Id的值代入公式(4)，我們有：
$$\mathrm{𝑆_{1𝜑} = (𝑉\:cos\:\delta − 𝑗𝑉\:sin\:\delta)\left(\frac{𝑉\:sin\:\delta}{𝑋_{𝑞}}+ 𝑗\frac{𝐸_{𝑓} − 𝑉\:cos\:\delta}{𝑋_{𝑑}}\right)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{1𝜑} =\left(\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑞}}sin\:\delta\:cos\:\delta +\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta −\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta\:cos\:\delta\right)}$$
$$\mathrm{+ 𝑗\left(\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta −\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑑}}cos^{2}\:𝛿 −\frac{𝑉^{2}}{𝑋_{𝑞}}sin^{2}\:\delta\right)}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{1𝜑} =\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta+\frac{𝑉^{2}}{2} \left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin \:2\delta\right]}$$
$$\mathrm{+ 𝑗\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta -\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}}(1 + cos\:2\delta) −\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑞}}(1 − cos\:2\delta)\right]}$$
$$\mathrm{\Rightarrow\:𝑆_{1𝜑} =\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta +\frac{𝑉^{2}}{2} \left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin\: 2\delta\right]}$$
$$\mathrm{+ 𝑗\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta-\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\{(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞} ) − (𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})\:cos\:2\delta\} \right]… (7)}$$
此外，
$$\mathrm{𝑆_{1𝜑} = 𝑃_{1𝜑} + 𝑗𝑄_{1𝜑} … (8)}$$
比較公式(7)和(8)，我們得到：
對於三相系統，
$$\mathrm{𝑃_{1𝜑} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta +\frac{𝑉^{2}}{2} \left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin\: 2\delta … (9)}$$
每相無功功率，
$$\mathrm{𝑄_{1𝜑} =\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta-\frac{𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\left[(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞} ) − (𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})\:cos\:2\delta \right]… (10)}$$
對於三相系統，
$$\mathrm{𝑃_{3𝜑} = 3𝑃_{1𝜑} =\frac{3𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta +\frac{3𝑉^{2}}{2} \left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin\: 2\delta… (11)}$$
$$\mathrm{𝑄_{3𝜑} = 3𝑄_{1𝜑} =\frac{3𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}cos\:\delta −\frac{3𝑉^{2}}{2𝑋_{𝑑}𝑋_{𝑞}}\left[(𝑋_{𝑑} + 𝑋_{𝑞} ) − (𝑋_{𝑑} − 𝑋_{𝑞})\:cos\:2\delta \right]… (12)}$$
公式(11)和(12)適用於凸極同步發電機和電動機。_同步發電機的轉矩角(δ)為正，同步電動機的轉矩角(δ)為負。_
圖2和圖3分別顯示了凸極同步機的(P-δ)和(Q-δ)曲線。此外，圖4顯示了凸極同步機的功率-角度曲線。從圖4可以看出，峰值功率或穩態極限出現在δ小於90°的值處。最大負載角(δmax)取決於V、Ef和凸極的相對大小。
此外，對於圓柱轉子同步機，三相有功功率由下式給出：
$$\mathrm{𝑃_{3𝜑} =\frac{3𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta… (13)}$$
同樣，同步電機產生的電磁轉矩由下式給出：
$$\mathrm{τ_{𝑒} =\frac{3𝑃_{1𝜑}}{𝜔_{𝑚}}= \frac{3}{2𝜋𝑛_{𝑠}}\left[\frac{𝑉𝐸_{𝑓}}{𝑋_{𝑑}}sin\:\delta +\frac{𝑉^{2}}{2} \left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin\: 2\delta \right]… (14)}$$
從公式(13)可以看出，產生的轉矩有兩個分量——_勵磁轉矩和磁阻轉矩_。第一項表示由勵磁引起的轉矩，由下式給出：
$$\mathrm{𝜏_{𝑒𝑥𝑐} =\frac{3𝑉𝐸_{𝑓}}{2𝜋𝑛_{𝑠}𝑋_{𝑑}}sin\:\delta… (15)}$$
第二項稱為磁阻轉矩，由下式給出：
$$\mathrm{τ_{𝑟𝑒𝑙} =\frac{3𝑉^{2}}{4𝜋𝑛_{𝑠}}\left(\frac{1}{{𝑋_{𝑞}}}-\frac{1}{{𝑋_{𝑑}}}\right)sin\:2\delta… (16)}$$
該機的磁阻轉矩與勵磁無關，只有當同步機連線到從與端電壓V並聯執行的其他同步機接收無功功率的系統時才存在。實際上，磁阻轉矩是由於磁極的凸極性，它傾向於使直軸與電樞MMF的軸線對齊。
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