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法學下列哪些數是完全立方數？
(i) 64
(ii)216
(iii) 243
(iv) 1000
(v) 1728
(vi) 3087
(vii) 4608
(viii) 106480
(ix) 166375
(x) 456533.
待辦事項
我們必須找出給定的數字是否是完全立方數。
解答：
(i) 64 的質因數分解是：
$64=2\times2\times2\times2\times2\times2$
$=2^3\times2^3$
$=(2\times2)^3$
$=4^3$
將因子分組為三個相等因子的組，我們看到沒有剩餘因子。
因此，
64 是一個完全立方數。
(ii) 216 的質因數分解是：
$216=2\times2\times2\times3\times3\times3$
$=2^3\times3^3$
$=(2\times3)^3$
$=6^3$
將因子分組為三個相等因子的組，我們看到沒有剩餘因子。
因此，
216 是一個完全立方數。
(iii) 243 的質因數分解是：
$243=3\times3\times3\times3\times3$
$=3^3\times3^2$
將因子分組為三個相等因子的組，我們看到剩餘兩個因子 $3 \times 3$。
因此，
243 不是完全立方數。
(iv) 1000 的質因數分解是：
$1000=2\times2\times2\times5\times5\times5$
$=2^3\times5^3$
$=(2\times5)^3$
$=15^3$
將因子分組為三個相等因子的組，我們看到沒有剩餘因子。
因此，
1000 是一個完全立方數。
(v) 1728 的質因數分解是：
$1728=2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3\times3$
$=2^3\times2^3\times3^3$
$=(2\times2\times3)^3$
$=12^3$
將因子分組為三個相等因子的組，我們看到沒有剩餘因子。
因此，
1728 是一個完全立方數。
(vi) 3087 的質因數分解是：
$3087=3\times3\times7\times7\times7$
$=3^2\times7^3$
將因子分組為三個相等因子的組，我們看到剩餘兩個因子。
因此，
3087 不是完全立方數。
(vii) 4608 的質因數分解是：
$4608=2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times2\times3\times3$
$=2^3\times2^3\times2^3\times3^2$
將因子分組為三個相等因子的組，我們看到剩餘兩個因子。
因此，
4608 不是完全立方數。
(viii) 106480 的質因數分解是：
$106480=2\times2\times2\times2\times5\times11\times11\times11$
$=2^3\times2\times5\times11^3$
將因子分組為三個相等因子的組，我們看到剩餘兩個因子 (2 和 5)。
因此，
106480 不是完全立方數。
(ix) 166375 的質因數分解是：
$166375=5\times5\times5\times11\times11\times11$
$=5^3\times11^3$
$=(5\times11)^3$
$=55^3$
將因子分組為三個相等因子的組，我們看到沒有剩餘因子。
因此，
166375 是一個完全立方數。
(x) 456533 的質因數分解是：
$456533=7\times7\times7\times11\times11\times11$
$=7^3\times11^3$
$=(7\times11)^3$
$=77^3$
將因子分組為三個相等因子的組，我們看到沒有剩餘因子。
因此，
456533 是一個完全立方數。
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