解下列方程組
$\frac{2}{3x+2y} +\frac{3}{3x-2y}=\frac{17}{5}$
$\frac{5}{3x+2y}+\frac{1}{3x-2y}=2$

已知

給定的方程組為

$\frac{2}{3x+2y} +\frac{3}{3x-2y}=\frac{17}{5}$

$\frac{5}{3x+2y}+\frac{1}{3x-2y}=2$

操作

我們需要解給定的方程組。

解答

令 $\frac{1}{3x+2y}=u$ 和 $\frac{1}{3x-2y}=v$

這意味著，給定的方程組可以寫成：

$\frac{2}{3x+2y} +\frac{3}{3x-2y}=\frac{17}{5}$

$2u+3v=\frac{17}{5}$

$5(2u+3v)=17$

$10u+15v=17$

$10u+15v-17=0$---(i)

$\frac{5}{3x+2y}+\frac{1}{3x-2y}=2$

$5u+v=2$

$15(5u+v)=15(2)$    (兩邊乘以 15)

$75u+15v=30$

$75u+15v-30=0$---(ii)

從方程 (ii) 中減去方程 (i)，得到：

$75u+15v-30-(10u+15v-17)=0$

$65u-13=0$

$65u=13$

$u=\frac{13}{65}$

$u=\frac{1}{5}$

在方程 (i) 中使用 $u=\frac{1}{5}$，得到：

$10(\frac{1}{5})+15v-17=0$

$2+15v-17=0$

$15v-15=0$

$15v=15$

$v=\frac{15}{15}$

$v=1$

使用 $u$ 和 $v$ 的值，得到：

$\frac{1}{3x+2y}=\frac{1}{5}$

$\Rightarrow 3x+2y=5$.....(iii)

$\frac{1}{3x-2y}=1$

$\Rightarrow 3x-2y=1$.....(iv)

將方程 (iii) 和 (iv) 相加，得到：

$3x+2y+3x-2y=5+1$

$6x=6$

$x=\frac{6}{6}$

$x=1$

將 $x$ 的值代入 (iv)，得到：

$3(1)-2y=1$

$2y=3-1$

$2y=2$

$y=\frac{2}{2}$

$y=1$

因此，給定方程組的解為 $x=1$ 和 $y=1$。   

教程點

更新於： 2022 年 10 月 10 日

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