解下列方程組
$\frac{1}{2(x+2y)} +\frac{5}{3(3x-2y)}=\frac{-3}{2}$
$\frac{5}{4(x+2y)}-\frac{3}{5(3x-2y)}=\frac{61}{60}$

已知

已知方程組為

$\frac{1}{2(x+2y)} +\frac{5}{3(3x-2y)}=\frac{-3}{2}$

$\frac{5}{4(x+2y)}-\frac{3}{5(3x-2y)}=\frac{61}{60}$

解題步驟

我們需要解出已知的方程組。

解答

令 $\frac{1}{x+2y}=u$ 和 $\frac{1}{3x-2y}=v$

這意味著，已知方程組可以寫成：

$\frac{1}{2(x+2y)} +\frac{5}{3(3x-2y)}=\frac{-3}{2}$

$\frac{u}{2}+\frac{5v}{3}=\frac{-3}{2}$

$\frac{3\times u+5v\times2}{6}=\frac{-3\times3}{2\times3}$

$\frac{3u+10v}{6}=\frac{-9}{6}$

$3u+10v=-9$ (兩邊分子相等)

$3u+10v+9=0$---(i)

$\frac{5}{4(x+2y)}-\frac{3}{5(3x-2y)}=\frac{61}{60}$

$\frac{5u}{4}-\frac{3v}{5}=\frac{61}{60}$

$\frac{5u\times5-3v\times4}{20}=\frac{61}{60}$

$\frac{25u-12v}{20}=\frac{61}{60}$

$60(25u-12v)=20(61)$

$3(25u-12v)=61$

$75u-36v=61$

$75u=61+36v$

$u=\frac{61+36v}{75}$---(ii)

將 $u=\frac{61+36v}{75}$ 代入方程(i)，得到：

$3(\frac{61+36v}{75})+10v+9=0$

$\frac{61+36v}{25}=-10v-9$

$61+36v=25(-10v-9)$

$61+36v=-250v-225$

$36v+250v=-225-61$

$286v=-286$

$v=\frac{-286}{286}$

$v=-1$

將 $v=-1$ 代入方程(i)，得到：

$3u+10(-1)+9=0$

$3u-10+9=0$

$3u-1=0$

$3u=1$

$u=\frac{1}{3}$

利用 $u$ 和 $v$ 的值，得到：

$\frac{1}{x+2y}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow x+2y=3$.....(iii)

$\frac{1}{3x-2y}=-1$

$\Rightarrow 3x-2y=-1$.....(iv)

將方程(iii)和(iv)相加，得到：

$x+2y+3x-2y=3+(-1)$

$4x=2$

$x=\frac{2}{4}$

$x=\frac{1}{2}$

將 $x$ 的值代入(iv)，得到：

$3(\frac{1}{2})-2y=-1$

$2y=\frac{3}{2}+1$

$2y=\frac{3+1\times2}{2}$

$y=\frac{\frac{5}{2}}{2}$

$y=\frac{5}{4}$

因此，已知方程組的解為 $x=\frac{1}{2}$ 和 $y=\frac{5}{4}$。  

教程點

更新於：2022年10月10日

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