證明\( \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A }}=\sec A+\tan A \)。

待辦事項

我們需要證明\( \sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A }}=\sec A+\tan A \)。

解答

我們知道：

$\frac{1}{cos\ A}=sec\ A$

$\frac{sin\ A}{cos\ A}=tan\ A$
$sin^2\ A+cos^2\ A=1$

左邊

$\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A }}=(\sqrt{\frac{1+\sin A}{1-\sin A }})\times\sqrt{\frac{1+\sin A}{1+\sin A }}$     (分母有理化)

$=\sqrt{\frac{(1+\sin A)^2}{1^2-\sin^2 A }}$

$=\sqrt{\frac{(1+\sin A)^2}{sin^2\ A+cos^2\ A-\sin^2 A }}$

$=\frac{1+\sin A}{cos\ A}$

$=\frac{1}{cos\ A}+\frac{sin\ A}{cos\ A}$

$=sec\ A+tan\ A$

因此得證。

教程點

更新於: 2022年10月10日

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