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法律研究在下列各題中，給出了六個三角比中的一個。求其他三角比的值。\( \sin \theta=\frac{\sqrt{3}}{2} \)
已知
\( \sin \theta=\frac{\sqrt3}{2} \)
要求
我們必須找到其他三角比的值。
解：
我們知道，
在直角三角形$ABC$中，$\angle B = 90^\circ$，
根據勾股定理，
$AC^2=AB^2+BC^2$
根據三角比的定義，
$sin\ A=\frac{對邊}{斜邊}=\frac{BC}{AC}$
$cos\ A=\frac{鄰邊}{斜邊}=\frac{AB}{AC}$
$tan\ A=\frac{對邊}{鄰邊}=\frac{BC}{AB}$
$cosec\ A=\frac{斜邊}{對邊}=\frac{AC}{BC}$
$sec\ A=\frac{斜邊}{鄰邊}=\frac{AC}{AB}$
$cot\ A=\frac{鄰邊}{對邊}=\frac{AB}{BC}$
這裡，
設 $sin\ \theta=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt3}{2}$
$AC^2=AB^2+BC^2$
$\Rightarrow AC^2 = BC^2 + AB^2$ $\Rightarrow 2^2 = (\sqrt{3})^2 + AB^2$
$\Rightarrow AB^2=4-3$
$\Rightarrow AB=\sqrt1=1$
因此，
$cos\ \theta=\frac{AB}{AC}=\frac{1}{2}$
$tan\ \theta=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt3}{1}=\sqrt3$
$cosec\ \theta=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt3}$
$sec\ \theta=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{1}=2$
$cot\ \theta=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt3}$
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