已知 $a +b + c = 9$ 且 $ab + bc + ca = 26$，求 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ 的值。

已知

$a +b + c = 9$ 且 $ab + bc + ca = 26$

求解

我們需要求 $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc$ 的值。

解答

我們知道：

$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3-3abc$

$a + b + c = 9$

兩邊平方，得到：

$(a + b + c)^2 = (9)^2$

$a^2 + b^2 + c^2 + 2 (ab + bc + ca) = 81$

$a^2 + b^2 + c^2 + 2 \times26 = 81$

$a^2 + b^2 + c^2 + 52 = 81$

$a^2 + b^2 + c^2 = 81 - 52 = 29$

因此：

$a^3 + b^3 + c^3 – 3abc = (a + b + c) [(a^2 + b^2 + c^2) – (ab + bc + ca)]$

$= 9(29 – 26)$

$= 9 \times 3$

$= 27$

因此，$a^3 + b^3 + c^3 – 3abc =27$。

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更新於：2022年10月10日

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