如果$a ≠ b ≠ c$，證明點$(a, a^2), (b, b^2), (c, c^2)$不可能共線。

已知

已知點為$(a, a^2), (b, b^2), (c, c^2)$。

$a ≠ b ≠ c$

要求

我們必須證明給定的點不可能共線。

解答

設$A(a, a^2), B(b, b^2)$和$C(c, c^2)$是$\triangle ABC$的頂點。

我們知道：

頂點為$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$的三角形的面積由下式給出：

三角形面積$\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形\( ABC\)的面積\(=\frac{1}{2}[a(b^2-c^2)+b(c^2-a^2)+c(a^2-b^2)] \)

\( =\frac{1}{2}[ab^2-ac^2+bc^2-a^2b+ca^2-b^2c] \)

\( =\frac{1}{2}\left[-a^{2} b+c a^{2}+a b^{2}-a c^{2}-b^{2} c+b c^{2}\right] \)
\( =\frac{1}{2}\left[-a^{2}(b-c)+a\left(b^{2}-c^{2}\right)-b c(b-c)\right] \)
\( =\frac{1}{2}\left[-a^{2}(b-c)+a(b+c)(b-c)-b c(b-c)\right] \)
\( =\frac{1}{2}\left[(b-c)\left(-a^{2}+a b+a c-b c\right)\right] \)
\( =\frac{1}{2}(b-c)[-a(a-b)+c(a-b)] \)

\( =\frac{1}{2}(b-c)(a-b)(-a+c) \)

\( =\frac{1}{2}(b-c)(a-b)(c-a) \)
\( =\frac{1}{2}(a-b)(b-c)(c-a) \)     (因為 $a ≠ b ≠ c$)

這裡，

$\triangle ABC$的面積不等於零。

因此，點$A, B$和$C$不共線。

證畢。   

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更新於：2022年10月10日

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