如果 $a ≠ b ≠ 0$，證明點 $(a, a^2), (b, b^2), (0, 0)$ 永遠不共線。

已知

給定點為 $(a, a^2), (b, b^2), (0, 0)$。

$a ≠ b ≠ 0$

要求

我們必須證明給定的點永遠不共線。

解答

設 $A(a, a^2), B(b, b^2)$ 和 $C(0, 0)$ 為 $\triangle ABC$ 的頂點。

我們知道，

頂點為 $(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$ 的三角形的面積由以下公式給出： 

三角形面積 $\Delta=\frac{1}{2}[x_{1}(y_{2}-y_{3})+x_{2}(y_{3}-y_{1})+x_{3}(y_{1}-y_{2})]$

因此，

三角形 \( ABC\) 的面積 \(=\frac{1}{2}[a(b^2-0)+b(0-a^2)+0(a^2-b^2)] \)

\( =\frac{1}{2}[ab^2-a^2b+0] \)

\( =\frac{1}{2}[ab(b-a)] \)

\( ≠0 \)       (因為 $a ≠ b ≠ 0$)

這裡，

$\triangle ABC$ 的面積不等於零。

因此，點 $A, B$ 和 $C$ 不共線。

證畢。  

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更新於： 2022 年 10 月 10 日

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