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法律研究最大化從根節點到已著色節點路徑上出現的未著色節點數
遍歷整個圖，計算每個節點的深度與其子樹中節點數之間的差值，以最大化從根節點到已著色節點路徑上出現的未著色節點數。透過選擇“k”個最大偏差值來找到對路徑影響最大的未著色節點。這些偏差值的總和給出了未著色節點的最大數量。這種方法允許我們積極地優化出現的未著色節點的數量，從而改進整體結果，並強調從根節點到已著色節點路徑上未著色節點的重要性。
使用的方法
差值計算和選擇
貪心演算法
差值計算和選擇
對比計算和確定過程包括確定每個節點的深度與其子樹中節點數之間的差值，然後選擇差異最大的節點。此過程有效地評估差異以識別對路徑貢獻最大的節點，從根節點到已著色節點。透過計算和比較這些差異，該方法旨在最大化沿途遇到的未著色節點的數量。該確定是透過對差異進行排序並選擇具有最大偏差的最佳節點來執行的，從而強調了未著色節點在整體結果中的重要性。
建立一個空的圖物件，並使用所需的資料結構填充它，以儲存鄰接表、深度、子樹寬度和差異陣列。
根據指定的輸入，透過連線節點和邊來建立圖。
從根節點開始深度優先搜尋 (DFS) 遍歷。在遍歷過程中
保持每個節點的深度一致，從其父節點的深度增加 1。
透過將子節點子樹的大小相加來遞迴計算每個節點子樹的大小。
從每個節點的深度中減去子樹大小來計算差值。
將差值儲存在差值陣列中。
使用 `nth_element` 函式對差值陣列進行排序，將“k”個最大差值放在前面。
要找到未著色節點的最大數量，請將“k”個最大差值相加。
列印從根節點到已著色節點的梯度上顯示的未著色節點的最大數量。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool compare(int a, int b)
{
return a > b;
}
class Graph
{
vector<vector<int>> adjacencyList;
vector<int> depth;
vector<int> subtree;
int* difference;
public:
Graph(int n)
{
adjacencyList = vector<vector<int>>(n + 1);
depth = vector<int>(n + 1);
subtree = vector<int>(n + 1);
difference = new int[n + 1];
}
void addEdge(int a, int b)
{
adjacencyList[a].push_back(b);
adjacencyList[b].push_back(a);
}
int dfs(int v, int p)
{
for (auto i : adjacencyList[v])
{
if (i == p)
continue;
subtree[v] += dfs(i, v);
}
difference[v] = depth[v] - subtree[v];
return subtree[v];
}
void findMaxUncoloredVertices(int n, int k)
{
nth_element(difference + 1, difference + k, difference + n + 1, compare);
int sum = 6;
for (int i = 1; i <= k; i++)
{
sum += difference[i];
}
cout << sum << "\n";
}
};
int main()
{
int numVertices = 10;
int k = 9;
Graph graph(numVertices);
graph.addEdge(1, 2);
graph.addEdge(1, 3);
graph.addEdge(1, 4);
graph.addEdge(4, 6);
graph.addEdge(2, 8);
graph.addEdge(1, 9);
graph.dfs(1, 0);
graph.findMaxUncoloredVertices(numVertices, k);
return 0;
}
輸出
6
貪心演算法
貪心演算法是一種問題解決策略，它在每個步驟中都做出區域性最優決策，目標是獲得全域性最優解。貪心演算法選擇深度與子樹中節點數之間偏差最大的節點，以最大化從根節點到已著色節點路徑上未著色節點的數量。此方法旨在透過選擇差異最大的節點來最大化路徑上遇到的未著色節點的數量。此策略基於這樣的思想：選擇具有更明顯偏差的節點將反過來產生大量無色節點。
演算法
確定每個節點的深度與其子樹中節點數之間的深度差。
根據估計的差異，按降序對節點進行排序。
將變數“sum”設定為 0。
按如下方式迭代排序後的節點
如果當前節點是前“k”個節點之一，則將其差異新增到“sum”。
5. 將“sum”值作為未著色節點的最大數量返回。
換句話說，此方法計算差異，根據差異對節點進行排序，並選擇差異最大的前“k”個節點。根據貪心演算法，這些差異的總和給出了從根節點到已著色節點路徑上未著色節點的最大數量。
示例
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;
class Graph {
vector<vector<int>> adjacencyList;
vector<int> depth;
vector<int> subtree;
vector<int> difference;
public:
Graph(int n) {
adjacencyList = vector<vector<int>>(n + 1);
depth = vector<int>(n + 1);
subtree = vector<int>(n + 1);
difference = vector<int>(n + 1);
}
void addEdge(int a, int b) {
adjacencyList[a].push_back(b);
adjacencyList[b].push_back(a);
}
void calculateDepthAndSubtreeSize(int v, int p) {
for (int i : adjacencyList[v]) {
if (i == p)
continue;
calculateDepthAndSubtreeSize(i, v);
subtree[v] += subtree[i];
}
difference[v] = depth[v] - subtree[v];
}
int findMaxUncoloredVertices(int n, int k) {
calculateDepthAndSubtreeSize(1, 0);
sort(difference.begin() + 1, difference.end(), greater<int>());
int sum = 6;
for (int i = 1; i <= k; i++) {
sum += difference[i];
}
return sum;
}
};
int main() {
int numVertices = 7;
int k = 4;
Graph g(numVertices);
g.addEdge(1, 2);
g.addEdge(1, 3);
g.addEdge(1, 4);
g.addEdge(3, 5);
g.addEdge(3, 6);
g.addEdge(4, 7);
int maxUncoloredVertices = g.findMaxUncoloredVertices(numVertices, k);
cout << "Number of uncolored vertices: " << maxUncoloredVertices << endl;
return 0;
}
輸出
Number of uncolored vertices: 6
結論
本文介紹了兩種提高圖中從根節點到已著色節點路徑上未著色節點數量的策略。
第一種策略使用一種獨特的計算和選擇方法。它涉及執行深度優先搜尋遍歷以計算每個節點的深度與其子樹中節點數之間的差異。選擇具有最大偏差的前“k”個節點，並將它們的差異相加以找到未著色節點的最大數量。
第二種策略使用貪心演算法。它計算每個節點的差異，按降序排列它們，並選擇具有最高差異的前“k”個節點。未著色節點的最大數量由這些差異的總和表示。
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