找出兩個分數之間的五個有理數。
(i) \( \frac{2}{3} \) 和 \( \frac{4}{5} \)
(ii) \( \frac{-3}{2} \) 和 \( \frac{5}{3} \)
(iii) \( \frac{1}{4} \) 和 \( \frac{1}{2} \)。

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要求： 

我們需要找出兩個分數之間的五個有理數。

(i) \( \frac{2}{3} \) 和 \( \frac{4}{5} \)
(ii) \( \frac{-3}{2} \) 和 \( \frac{5}{3} \)
(iii) \( \frac{1}{4} \) 和 \( \frac{1}{2} \)。

解答： 

為了解答這個問題，首先，我們需要將它們轉換成同分母分數。

(i) 分母(3和5)的最小公倍數是15。現在我們必須改變分數，使分母變成15。

為了轉換成同分母分數，我們將$\frac{2}{3}$的分子和分母都乘以5。

$\frac{2}{3} \ =\ \frac{2}{3}\ \times\ \frac{5}{5}\ =\ \frac{10}{15}$

我們將$\frac{4}{5}$的分子和分母都乘以3。

$\frac{4}{5}\ =\ \frac{4}{5}\ \times\ \frac{3}{3}\ =\ \frac{12}{15}$

現在，我們的分數是$\frac{10}{15}$和$\frac{12}{15}$。

我們可以透過將它們乘以（5+1=6）來找到$\frac{10}{15}$和$\frac{12}{15}$之間的5個有理數。

$\frac{10}{15}\ \times\ \frac{6}{6}\ =\ \frac{60}{90}$

並且，

$\frac{12}{15}\ \times\ \frac{6}{6}\ =\ \frac{72}{90}$

因此，

$\frac{2}{3}$和$\frac{4}{5}$之間的五個有理數是：

$\frac{61}{90},\ \frac{62}{90},\ \frac{63}{90},\ \frac{64}{90}\ 和\ \frac{65}{90}$。

(ii) 分母(2和3)的最小公倍數是6。現在我們必須改變分數，使分母變成6。

為了轉換成同分母分數，我們將$\frac{-3}{2}$的分子和分母都乘以3。

$\frac{-3}{2} \ =\ \frac{-3}{2}\ \times\ \frac{3}{3}\ =\ \frac{-9}{6}$

我們將$\frac{5}{3}$的分子和分母都乘以2。

$\frac{5}{3}\ =\ \frac{5}{3}\ \times\ \frac{2}{2}\ =\ \frac{10}{6}$

現在，我們的分數是$\frac{-9}{6}$和$\frac{10}{6}$。

我們可以找到$\frac{-9}{6}$和$\frac{10}{6}$之間的5個有理數。

因此，

$\frac{-3}{2}$和$\frac{5}{3}$之間的五個有理數是：

$\frac{-8}{6},\ \frac{-7}{6},\ \frac{-6}{6}=-1,\ \frac{-5}{6}\ 和\ \frac{-4}{6}$。

(iii) 分母(4和2)的最小公倍數是4。現在我們必須改變分數，使分母變成4。

為了轉換成同分母分數，我們將$\frac{1}{2}$的分子和分母都乘以2。

$\frac{1}{2} \ =\ \frac{1}{2}\ \times\ \frac{2}{2}\ =\ \frac{2}{4}$

現在，我們的分數是$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{4}$。

我們可以透過將它們乘以（5+1=6）來找到$\frac{1}{4}$和$\frac{2}{4}$之間的5個有理數。

$\frac{1}{4}\ \times\ \frac{6}{6}\ =\ \frac{6}{24}$

並且，

$\frac{2}{4}\ \times\ \frac{6}{6}\ =\ \frac{12}{24}$

因此，

$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{2}$之間的五個有理數是：

$\frac{7}{24},\ \frac{8}{24},\ \frac{9}{24},\ \frac{10}{24}\ 和\ \frac{11}{24}$。