中心十五角數

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問題包括為任何輸入數字 N 列印第 N 箇中心十五角數。

中心十五角數是一個可以表示為圖形形式的數字，該圖形在中心有一個點，並被十五邊形（即 15 邊形）的連續層包圍。這裡，十五邊形的連續層表示圍繞中心點的第一層將是 15 邊形，下一層將是 30 邊形，然後是 45 邊形，依此類推。

我們可以透過下面的圖形來理解中心十五角數的概念。

第一個中心十五角數用中心的一個點表示。因此，第一個數字將是 1。

下一個中心十五角數可以表示為中心的一個點，後面跟著一個圍繞著的十五邊形（15 邊形）層。因此，第二個中心十五角數將是 15+1=16。

第三個中心十五角數是 46，因為它以圖形的形式表示，中心有一個點，周圍環繞著十五邊形的連續層。十五邊形的連續層表明第一層將是 15 邊形，第二層將是 30 邊形。

我們可以按照相同的模式計算連續的中心十五角數。按照圖形中的模式計算出的前幾個中心十五角數是1、16、46、91、151、226、316、421、541……。

我們將得到任何正整數 N，我們需要列印對應於該正整數 N 的第 N 箇中心十五角數。

示例−

INPUT : N=5
OUTPUT : 151

說明 − 第 5 箇中心十五角數是 151，表示為中心的一個點，周圍環繞著四層連續的十五邊形，其總和為 1+15+30+45+60=151。

INPUT : N=9
OUTPUT : 541

說明 − 第 9 箇中心十五角數是 541。

讓我們看看演算法來找出第 N 箇中心十五角數。

演算法

我們需要觀察中心十五角數序列中遵循的模式。每個第 N 箇中心十五角數當表示為圖形形式時，都被 (N-1) 個連續的十五邊形層包圍。十五邊形的連續層序列是 15、30、45、60、75……

第一個中心十五角數被 0 個十五邊形層包圍，因為它只是用中心的一個點表示。所以我們可以說第 N 箇中心十五角數是 (N-1) 個連續的十五邊形層的總和 + 1。

由於十五邊形的連續層序列形成一個公差為 a=15 和公差為 d=15 的等差數列。因此，第 N 箇中心十五角數可以計算為 −

$$\mathrm{(centered \: pentadecagonal)_N=sum \: of \: (N − 1)successive \: layers \: of \: pentadecagon + 1}$$

$$\mathrm{sum \: of \: N \: ters \: of \: AP =\frac{N}{2}(2*a+(N − 1)d)}$$

其中，a=等差數列的首項

$$\mathrm{d= 等差數列的公差}$$

使用計算第 N 箇中心十五角數的公式，

$$\mathrm{(centered \: pentadecagonal)_N=\frac{(N − 1)}{2}(2*15+(N − 2)*15)+1}$$

$$\mathrm{=\frac{15*(N − 1)}{2}(2+N − 2)+1}$$

$$\mathrm{=\frac{15*N*(N − 1)}{2}+1}$$

這是使用簡單數學推匯出的獲取任何第 N 箇中心十五角數的公式。我們將在解決問題的方法中使用此公式。

方法

在 C++ 中應用公式計算第 N 箇中心十五角數需要遵循的步驟 −

• 我們將建立一個函式來計算第 N 箇中心十五角數。

• 初始化一個名為 ans 的變數為 long long int，以儲存較大 N 值的第 N 箇中心十五角數。

• 使用演算法中推匯出的公式計算數字。

• 列印計算出的數字，這將是我們所需的輸出。

該方法的 C++ 程式碼 −

示例

//C++ code to print the N-th centred pentadecagonal number
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

//function to give the N-th centred pentadecagonal number
long long int Nth_number(int N){
   long long int ans= (15 * N * (N-1))/2 + 1; //to store N-th number
    
   return ans; //return the N-th number
}
int main(){
   int N;
   N=12;
   cout<<"The N-th centred pentadecagonal number is "<<Nth_number(N)<<endl; //calling the function
   N=19;
   cout<<"The N-th centred pentadecagonal number is "<<Nth_number(N)<<endl;
}

輸出

The N-th centred pentadecagonal number is 991
The N-th centred pentadecagonal number is 2566

時間複雜度 − O(1)，計算第 N 個數字需要常數時間。

空間複雜度 − O(1)，我們沒有使用任何額外的空間。

結論

本文討論了中心十五角數背後的概念。我們根據中心十五角數序列中遵循的模式，找出了計算任何正數 N 的第 N 箇中心十五角數的公式。我們提出了一種有效的方法，使用推匯出的公式在 C++ 中列印第 N 箇中心十五角數。

我希望在閱讀本文後，您對該主題的相關概念已經清楚了。