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法律研究直流電路中的電容器
電容器與電容
當兩個導電錶面被絕緣材料隔開時，就被稱為電容器。導電錶面稱為電容器的極板，絕緣材料稱為介電質。
電容器儲存電荷的能力稱為電容器的電容。用 C 表示，單位為法拉（F）。
透過實驗發現，儲存在電容器中的電荷 (Q) 與其兩端的電位差成正比，即：
$$Q\varpropto\:V$$
$$\Rightarrow\:Q=CV$$
$$\Rightarrow\:C=\frac{Q}{V}\:\:\:\:...(1)$$
其中，C 是一個常數，稱為電容器的電容。
因此，電容器的電容 (C) 定義為電容器任一極板上的電荷 (Q) 與其兩端電位差 (V) 的比值。
電容的單位是
$$\because\:C=\frac{Q}{V}$$
$$\therefore\:C 的單位=\frac{庫侖}{伏特}=法拉$$
電容器是如何儲存電荷的？
考慮一個並聯板電容器透過開關連線到 V 伏特的電池上。電容器的充電過程可以理解如下：
步驟 1 - 開關 S 開啟時，電容器的極板上沒有電荷。
步驟 2 - 當開關 S 閉合時，電池的正極吸引極板 A 上的電子，並將這些電子積累到極板 B 上。這導致極板 A 變得越來越正，極板 B 變得越來越負。此動作稱為電容器的充電。電容器的充電過程持續到電容器兩端的電位差等於電池電壓 (V) 時。
步驟 3 - 一旦電容器充滿到電池電壓 (V)，電流就會停止流動。
步驟 4 - 現在，如果開啟開關 S，電容器的極板將保持電荷。因此，此時，據說電容器已充電。
重要事項
關於電容器的作用，需要注意以下幾點：
當在電容器兩端施加直流電壓時，充電電流將持續流動，直到電容器完全充電時電流停止。此充電過程將在非常短的時間內發生，即幾分之一秒。因此，完全充電的電容器會阻擋直流電流的流動。
只有電子透過外部電路從一個極板轉移到另一個極板。電流不會在電容器的極板之間流動。
當電容器充電時，兩個極板帶有相等且相反的電荷。因此，電容器上的電荷是指任一極板上的電荷。
為電容器充電所需的能量由外部電源提供。
電容器在直流電路中的行為
可以從以下幾點了解電容器在直流電路中的行為：
當在未充電的電容器兩端施加直流電壓時，電容器會快速（不是瞬間）充電到施加的電壓。充電電流由下式給出：
$$i=\frac{dQ}{dt}=\frac{d(CV)}{dt}=C\frac{dV}{dt}\:\:\:\:(2)$$
當電容器完全充電時，電容器兩端的電壓變得恆定，並且等於施加的電壓。因此，(dV/dt = 0)，因此，充電電流為零。
未充電電容器兩端的電壓為零，因此就直流電壓而言，它等效於短路。
當電容器完全充電時，電路中沒有電流流動。因此，完全充電的電容器對直流電錶現為開路。
電容器的充電
考慮一個電容為 C 的未充電電容器，透過一個串聯電阻 R 連線到 V 伏特的電池（直流電）上，以將充電電流限制在安全範圍內。當開關 S 閉合時，充電電流流過電路，電容器開始充電。
充電電流在開關閉合的瞬間最大，隨著電容器兩端的電壓增加而逐漸減小。當電容器完全充電到施加電壓 (V) 時，充電電流降至零。
開關閉合的瞬間
開關閉合的瞬間，電容器兩端的電壓為零（因為電容器開始時未充電）。整個電壓 V 出現在電阻 R 兩端，充電電流最大。因此，
$$初始充電電流，I_{m}=\frac{V}{R}$$
$$電容器兩端的電壓，v=0$$
$$電容器上的電荷，Q=0$$
在任意時間點 t
閉合開關後，充電電流開始減小，電容器兩端的電壓逐漸增大。因此，在任意時間點 t，
$$電容器兩端的電壓=v$$
$$電容器上的電荷，q=Cv$$
$$充電電流，i=C\frac{dv}{dt}$$
電容器兩端的電壓 -
透過在電路中應用 KCL，我們可以寫出：
$$V=V_{R}+v$$
$$\Rightarrow\:V=iR+v=(C\frac{dv}{dt})R+v\:\:\:\:\:...(3)$$
$$\Rightarrow\:\frac{dv}{V-v}=\frac{dt}{RC}$$
對兩邊進行積分：
$$\int\frac{dv}{V-v}=\int\frac{dt}{RC}$$
求解此積分，我們得到：
$$-\log_{e}{(V-v)}=\frac{t}{RC}+K\:\:\:\:...(4)$$
K 的值可以由初始條件確定。在閉合開關的瞬間，t = 0 且 v = 0。因此，從公式 (4) 中，
$$-\log_{e}{V}=K$$
將 K 的值代入方程 (4)，我們得到：
$$-\log_{e}{(V-v)}=\frac{t}{RC}-\log_{e}{(V)}$$
$$\Rightarrow\:\log_{e}{(V-v)}-\log_{e}{(V)}=-\frac{t}{RC}$$
$$\Rightarrow\:\log_{e}{(\frac{V-v}{V})}=-\frac{t}{RC}$$
對兩邊取反對數，我們得到：
$$\frac{V-v}{V}=e^{-t/RC}$$
$$\Rightarrow\:V-v=Ve^{-t/RC}\:\:\:\:...(5)$$
$$\Rightarrow\:v=V(1-e^{-t/RC})\:\:\:\:...(6)$$
公式 (5) 顯示，在充電過程中，電容器兩端的電壓呈指數增長。
充電電流 -
從公式 (3) 中，
$$V-v=iR$$
從公式 (5) 中，
$$V-v=Ve^{-t/RC}$$
$$\therefore\:iR=Ve^{-t/RC}$$
$$\Rightarrow\:i=\frac{V}{R}e^{-t/RC}=I_{m}e^{-t/RC}\:\:\:\:...(7)$$
其中，Im 是初始充電電流。此外，從公式 (7) 可以看出，充電電流呈指數下降。充電電壓和充電電流的方程也可以用圖形表示，如下所示。
時間常數 -
時間常數可以定義為電容器電壓 (v) 上升到其最終穩定值 V 所需的時間。用 Tau (τ) 表示，由下式給出：
$$時間常數，\tau=RC\:秒\:\:\:\:...(8)$$
電容器的放電
考慮一個電容為 C 法拉的已充電電容器，透過開關 S 與電阻 R 串聯連線。當開關開啟時，電容器兩端的電壓為 V 伏特。當開關閉合時，放電電流開始流過電路，電容器開始放電，即其兩端的電壓開始下降。放電電流瞬間上升到 Im 值，然後降至零。
放電電壓 -
考慮在放電過程中的任意時間點 t，
$$電容器兩端的電壓=v$$
$$放電電流，i=C\frac{dV}{dt}$$
透過在電路中應用 KVL，我們得到：
$$V+iR=0$$
$$\Rightarrow\:v+CR\frac{dV}{cdt}=0$$
$$\Rightarrow\:\frac{dV}{v}=-\frac{dt}{RC}$$
對兩邊積分，我們得到：
$$\log_{e}{v}=-\frac{t}{RC}+K\:\:\:\:...(9)$$
K 的值可以由初始條件確定。在閉合開關的瞬間，t = 0 且 v = V。因此，從公式 (9) 中，
$$\log_{e}{V}=K$$
因此，公式 (9) 變為：
$$\log_{e}{v}=-\frac{t}{RC}+\log_{e}{V}$$
$$\Rightarrow\log_{e}{\frac{v}{V}}=-\frac{t}{RC}$$
對兩邊取反對數，我們得到：
$${\frac{v}{V}}=e^{-t/RC}$$
$$\Rightarrow\:v=Ve^{-t/RC}\:\:\:\:...(10)$$
公式 (10) 顯示，在電容器放電過程中，其兩端的電壓呈指數下降。
放電電流
放電電流的方向與充電電流的方向相反，即
$$i=-I_{m}e^{-t/RC}\:\:\:...(11)$$
放電電壓和放電電流的方程也可以用圖形表示，如下所示。
數值示例
一個4 μF的電容器透過1 MΩ的電阻連線到120伏的直流電源。
確定以下內容 -
時間常數
初始充電電流
開關閉合後5秒電容器兩端的電壓
電容器完全充電所需的時間。
解答 -
時間常數
$$\tau=RC=(1\times\:10^{6})\times\:(4\times\:10^{-6})=4\:秒$$
初始充電電流
$$I_{m}=\frac{V}{R}=\frac{120}{1\times\:10^{6}}=120μ\:A$$
開關閉合後5秒電容器兩端的電壓
$$\because\:v=V(1-e^{-t/RC})=120\times\:(1-e^{-5/4})=85.62V$$
電容器完全充電所需的時間
電容器完全充電所需的時間 = 5 × 時間常數
$$\therefore\:t_{full\:charged}=5\times\:4=20\:秒$$
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