雙射函式

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介紹

雙射函式是一一對映且滿射的函式。在本教程中，我們將學習函式及其屬性，例如單射性和滿射性。我們還將學習雙射函式以及函式的可逆性。

函式定義為兩個集合之間的對映，第一個集合稱為定義域，第二個集合稱為值域，如果定義域的元素在值域中具有唯一的像。

如果定義域的所有元素都對映到值域中的唯一元素，則稱函式為單射或一一對映。如果值域的所有元素都從定義域的某些元素對映而來，則稱函式為滿射或到對映。如果一個函式既是單射又是滿射，則稱其為雙射。雙射函式也是可逆的。

函式

函式定義為兩個集合（例如 A 和 B）之間的對映，使得 A 的每個元素在 B 中都有一個唯一的像，即 B 中的任何兩個元素都不能對映自 A 的同一個元素。

$$\mathrm{f\:\colon\:a\:\rightarrow\:B\:\:\:\:\:使得\:f(x)\:=\:y}$$

$$\mathrm{其中\:,\:x\;\varepsilon\:A\:,\:y\varepsilon\:B}$$

單射性（一一對映）

函式的單射性定義為函式的屬性，使得 A 的任何兩個元素都不能對映到 B 的同一個元素，即 B 的每個元素都有一個唯一的原像。

在代數上，函式𝑓的單射性可以透過以下簡單方法驗證。設$\mathrm{f\:\colon\:A\rightarrow\:B}$為一個函式，

首先，我們將嘗試找到一個反例，即定義域中的兩個元素對映到值域中的同一個元素。如果沒有找到簡單的反例，

那麼設$\mathrm{x_{1}\:,\:x_{2}\:\varepsilon\:A}$為定義域中的兩個元素，它們對映到B中的同一個像，

$$\mathrm{即，f(x_{1})\:=\:f(x_{2})}$$

現在，我們將簡化方程並嘗試將變數分隔到等式兩邊。

如果方程可以簡化為$\mathrm{x_{1}\:=\:x_{2}}$，則函式𝑓是單射的；但如果存在其他可能成立的條件，則函式𝑓是多對一的，或者簡單地說，不是單射的。

滿射性（到對映）

函式的滿射性定義為函式的屬性，使得 B 的所有元素都從 A 的某些元素對映而來，即 B 的所有元素在 A 中都有原像。

它也可以定義為函式的值域等於其值域的時候。

在代數上，函式𝑓的滿射性可以透過以下簡單步驟確定：

設$\mathrm{f\:\colon\:A\rightarrow\:B;\:f(x)\:=\:y}$

首先，我們將嘗試找到一個反例，其中對於某些$\mathrm{y\varepsilon\:B}$，不存在$\mathrm{x\varepsilon\:A}$，使得$\mathrm{f(x)\:=\:y}$。如果沒有找到簡單的反例，

那麼我們將函式表示式代入方程$\mathrm{f(x)\:=\:y}$，並將𝑥與方程的其餘部分分離。

這將得到一個函式，例如𝑔，使得

$$\mathrm{g\colon\:B\:\rightarrow\:A;\:g(y)\:=\:x}$$

那麼，如果$\mathrm{x\:=\:g(x)\:\varepsilon\:A\:,\:∀\:y\:\varepsilon\:B }$，則函式𝑓是滿射的。否則，函式𝑓是入射的，或者簡單地說，不是滿射的。

雙射函式

當一個函式既是單射又是滿射時，它被稱為雙射函式。

可逆性

函式的可逆性由函式複合運算定義。

函式的可逆性取決於其雙射性，即如果一個函式是雙射的，那麼它也是可逆的。

函式𝑓的逆函式$\mathrm{f^{-1}}$，由$\mathrm{f\colon\:A\rightarrow\:B;\:\:f(A)\:=\:B}$定義，定義為：

$$\mathrm{f^{-1}\:\colon\:B\rightarrow\:A;\:f^{-1}(B)\:=\:A}$$

並且，設I為恆等函式，定義為$\mathrm{I\colon\:A\rightarrow\:A;\:\:I(x)\:=\:x\:,\:∀\:x\varepsilon\:A}$

那麼，

$$\mathrm{fof^{-1}(B)\:=\:B\:且\:f^{-1}of\:(A)\:=\:A}$$

例題

1) 設𝑓為定義如下函式：$\mathrm{f\colon\:N\rightarrow\:N;\:f(x)\:=\:x^{2}}$。檢查𝑓是否是雙射的。如果𝑓是雙射的，則找到它的逆函式。

答案 - 單射性 -

設，$\mathrm{x_{1}\:,\:x_{2}\:\varepsilon\:N}$

使得，$\mathrm{f(x_{1})\:=\:f(x_{2})}$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:{x_{1}}^{2}\:=\:{x_{2}}^{2}}$$

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x_{1}\:=\:\pm\:x_{2}}$$

由於集合是自然數集，沒有負數，

$$\mathrm{\Longrightarrow\:x_{1}\:=\:x_{2}}$$

因此，該函式是單射的。滿射性 -

我們有一個反例，設$\mathrm{y\:=\:2\:\varepsilon\:N}$（值域）不存在任何$\mathrm{x\varepsilon\:N}$（定義域），使得$\mathrm{y\:=\:f(x)\:=\:x^{2}}$

因此，該函式不是滿射的，根據定義也不是雙射的。

結論

函式定義為兩個集合之間的對映，第一個集合稱為定義域，第二個集合稱為值域，如果定義域的元素在值域中具有唯一的像。如果定義域的所有元素都對映到值域中的唯一元素，則稱函式為單射或一一對映。如果值域的所有元素都從定義域的某些元素對映而來，則稱函式為滿射或到對映。如果一個函式既是單射又是滿射，則稱其為雙射。雙射函式也是可逆的。

常見問題

1. 什麼是函式？

函式定義為兩個集合（例如 A 和 B）之間的對映，使得 A 的每個元素在 B 中都有一個唯一的像，即 B 中的任何兩個元素都不能對映自 A 的同一個元素。

$$\mathrm{f\colon\:A\rightarrow\:B\:\:\:\:\:使得\:f(x)\:=\:y}$$

$$\mathrm{其中\:,\:x\:\varepsilon\:A\:,\:且\:y\:\varepsilon\:B}$$

2. 什麼是單射函式？

如果定義域的每個元素都對映到值域中的唯一元素，則稱函式為單射函式。

3. 什麼是滿射函式？

如果函式的值域等於其值域，則稱函式為滿射函式。

4. 雙射函式是什麼意思？

當一個函式既是單射又是滿射時，它被稱為雙射函式。

5. 如何定義函式的逆函式？

函式𝑓的逆函式𝑓−1，由$\mathrm{f\colon\:A\:\rightarrow\:B;\:\:f(A)\:=\:B}$定義，定義為：

$$\mathrm{f^{-1}\colon\:B\rightarrow\:A;\:f^{-1}(B)\:=\:A}$$

並且，設I為恆等函式，定義為$\mathrm{fof^{-1}(B)\:\:=\:B\:且\:f^{-1}of(A)\:=\:A}$，那麼，

$$\mathrm{}$$

6. 如何驗證函式的單射性和滿射性？

單射性 - 函式𝑓的單射性可以透過以下簡單方法驗證。設$\mathrm{f\colon\:A\rightarrow\:B}$為一個函式，

首先，我們將嘗試找到一個反例，即定義域中的兩個元素對映到值域中的同一個元素。如果沒有找到簡單的反例，

那麼設$\mathrm{X_{1},X_{2}\varepsilon\:A}$為定義域中的兩個元素，它們對映到B中的同一個像，即，𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2)

現在，我們將簡化方程並嘗試將變數分隔到等式兩邊。如果方程可以簡化為$\mathrm{x_{1}\:=\:x_{2}}$，則函式𝑓是單射的。

滿射性 - 函式𝑓的滿射性可以透過以下簡單步驟確定：

設$\mathrm{f\colon\:A\rightarrow\:B;\:f(x)\:=\:y}$

首先，我們將嘗試找到一個反例，其中對於某些$\mathrm{y\varepsilon\:B}$，不存在$\mathrm{x\varepsilon\:A}$，使得$\mathrm{f(x)\:=\:y}$。如果沒有找到簡單的反例，

那麼我們將函式表示式代入方程，並將𝑥與方程的其餘部分分離。

這將得到一個函式，例如𝑔，使得：

$$\mathrm{}$$

那麼，如果$\mathrm{x\:=\:g(x)\:\varepsilon\:A\:,\:∀\:y\:\varepsilon\:B}$，則函式𝑓是滿射的。