線性迴歸假設 - 多元正態性

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介紹

線性迴歸是一種廣泛使用的統計方法，用於模擬因變數和一個或多個自變數之間的關係。它基於變數之間的線性關係，廣泛應用於經濟學、心理學和工程學等各個領域。但是，要使線性迴歸分析的結果有意義且準確，必須滿足某些假設。其中一個假設是多元正態性假設。

多元正態性假設認為殘差（觀測值與預測值之間的差異）服從正態分佈。這個假設很重要，因為它允許使用各種統計檢驗和推斷方法，例如假設檢驗和置信區間，這些方法都依賴於殘差的正態性。這一假設對於線性迴歸分析結果的準確性和可靠性是必要的。

線性迴歸假設 - 多元正態性

多元正態性

使用線性迴歸的分析確定一個或多個預測變數是否充分解釋了因變數（或標準變數）。迴歸分析基於五個主要假設：

• 線性關係

• 多元正態性

• 無多重共線性或多重共線性很小

• 無自相關性

• 同方差性

線性迴歸是最廣泛使用的統計技術之一，用於模擬因變數和一個或多個自變數之間的關係。它是一種流行的模擬連續和數值結果的方法，特別適用於識別變數之間關係的強度和方向。但是，為了使線性迴歸成為有效的數 據分析工具，理解並遵守其基本假設非常重要。

線性迴歸最重要的假設之一是多元正態性。這意味著模型的誤差項或殘差應該服從正態分佈。換句話說，殘差的均值為零，並呈鐘形曲線分佈。這個假設很重要，因為它允許我們使用各種統計檢驗和置信區間來推斷模型及其引數。

多元正態性是經典線性迴歸框架的核心組成部分。它對於驗證使用該模型所做的許多統計結果和推論是必要的。特別是，中心極限定理指出，許多獨立隨機變數的總和趨於正態分佈，並適用於線性迴歸中的殘差。這意味著，隨著觀測數的增加，即使單個觀測值本身不服從正態分佈，殘差也會越來越接近正態分佈。

有多種方法可以評估線性迴歸模型中的多元正態性假設。一種常見的方法是繪製殘差的直方圖，並目視檢查分佈是否存在正態性的證據。還可以使用正態機率圖來圖形化地評估殘差的正態性。另一種方法是進行正態性檢驗，例如 Shapiro-Wilk 檢驗或 Anderson-Darling 檢驗，以正式檢驗殘差服從正態分佈的假設。

如果不滿足多元正態性假設，分析將產生幾種潛在的影響。最嚴重的後果之一是，可能需要校正模型引數的標準誤差和置信區間的估計值。這反過來會影響假設檢驗的結果，並導致對因變數和自變數之間關係的錯誤推斷。此外，其他統計結果的有效性，例如用於模型整體顯著性的 F 檢驗，也可能受到影響。

有多種方法可以解決多元正態性假設的違反。一種選擇是轉換因變數以使殘差更接近正態分佈。例如，將因變數轉換為其對數尺度或冪函式通常會導致殘差更接近正態分佈。其他技術，例如轉換自變數或使用完全不同的模型（例如非線性迴歸模型或穩健迴歸模型），也可以用來解決多元正態性假設的違反。

與現實世界實體的規範

需要注意的是，多元正態性假設在現實世界的資料集中並非總是滿足，尤其是在樣本量較小的情況下。在這些情況下，必須考慮不依賴於正態性假設的替代資料建模方法。例如，穩健迴歸方法（例如 M 估計量）的設計更能抵抗異常值和偏離正態性的情況，並且可以在殘差不服從正態分佈的情況下用於擬合迴歸模型。

在 線性迴歸模型中，還必須考慮因變數和自變數之間的潛在關係。在某些情況下，可能需要轉換變數或使用非線性迴歸方法來準確地模擬變數之間的關係。例如，如果因變數和自變數之間的關係是非線性的，則多項式或樣條迴歸模型可能更合適。

示例和方程

線性迴歸中多元正態性假設的一個例子可以在一項研究中看到，該研究調查了收入和受教育年限之間的關係。因變數收入是連續的數值變數，而自變數受教育年限也是連續的。為了模擬這些變數之間的關係，使用從人口中收集的資料樣本擬合線性迴歸模型。

線性迴歸的關鍵假設之一是殘差（觀測值與預測值之間的差異）應該服從正態分佈。為了評估這一假設，可以繪製殘差的直方圖，並目視檢查是否存在正態性的證據。還可以使用正態機率圖來圖形化地評估殘差的正態性。如果殘差不服從正態分佈，則應考慮替代的資料建模方法，例如穩健迴歸或廣義線性模型。

在這個例子中，讓我們假設發現線性迴歸模型的殘差不服從正態分佈。一個可能的解決方案是對因變數收入進行對數轉換。這種轉換通常會導致殘差更接近正態分佈。然後可以使用因變數的對數轉換擬合新的線性迴歸模型，並再次評估殘差的正態性。如果殘差仍然不服從正態分佈，則應考慮其他資料建模方法。

此示例突出了理解和遵守線性迴歸假設以獲得準確結果並對變數之間關係進行有效推斷的重要性。透過考慮替代的資料建模方法並解決任何假設違反，研究人員可以確保其分析結果的有效性和意義。

方程

具有單個自變數的簡單線性迴歸模型的方程如下：

Y = β0 + β1X + ε

其中 Y 是因變數，X 是自變數，β0 是截距，β1 是斜率或迴歸係數，ε 是誤差項。

線性迴歸的目標是估計 β0 和 β1 的值，以最小化殘差平方和，定義如下：

RSS = Σ(Yi - Ŷi)^2

其中 Yi 是因變數的觀測值，Ŷi 是因變數的預測值，總和取所有觀測值。

可以使用最小二乘法獲得 β0 和 β1 的估計值，該方法最小化 RSS。然後可以使用 β0 和 β1 的估計值根據自變數的值來預測因變數。

對於多個自變數，多元線性迴歸模型的方程如下：

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε

其中 X1, X2, ... Xk 是自變數，β0 是截距，β1, β2, ... βk 是迴歸係數，ε 是誤差項。可以使用上述最小二乘法獲得 β0, β1, β2, ... βk 的估計值。

結論

多元正態性假設是線性迴歸分析的重要組成部分，必須仔細考慮才能獲得有意義且準確的結果。如果殘差不服從正態分佈，則應考慮其他資料建模方法，例如穩健迴歸或廣義線性模型。通過了解線性迴歸的侷限性並考慮替代方法，研究人員可以更明智地做出關於其資料的決策，並更好地理解變數之間的關係。總而言之，多元正態性假設是線性迴歸分析的關鍵組成部分，應仔細考慮以確保結果的有效性。