一個等差數列包含 37 項。中間三項的和為 225，後三項的和為 429。求這個等差數列。

已知

一個等差數列包含 $37$ 項。中間三項的和為 $225$，後三項的和為 $429$。

要求

我們需要求出這個等差數列。

解答

這個等差數列包含 $37$ 項。因此，中間項是第 $( \frac{37+1}{2})^{th}$ 項，即第 19 項。

因此，這個等差數列的中間三項是第 18 項，第 19 項和第 20 項。

已知 $a_{18} + a_{19} + a_{20} = 225$

$\Rightarrow (a + 17d) + (a + 18d) + (a + 19d) = 225$

$\Rightarrow 3(a + 18d) = 225$

$\Rightarrow a + 18d = 75$

$\Rightarrow a = 75 – 18d\ … ( 1)$

根據已知條件

$a_{35} + a_{36} + a_{37} = 429$

$\Rightarrow ( a + 34d) + ( a + 35d) + ( a + 36d) = 429$

$\Rightarrow 3( a + 35d) = 429$

$\Rightarrow ( 75 – 18d) + 35d = 143$

$\Rightarrow 17d = 143 – 75 = 68$

$\Rightarrow d = 4$

將 $d$ 的值代入方程 $( 1)$，得到：

$a = 75 – 18 \times 4 = 3$

因此，所求的等差數列為 $3,\ 7,\ 11,\ 15\ …$

教程點

更新時間： 2022年10月10日

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